算法训练营Day34

#Java #动态规划

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动态规划的关键几个步骤：

1. 定义子问题：将原问题分解成较小的子问题。

2. 实现递归关系：建立子问题之间的递归关系，这些关系通常以数学形式表达，称为递推公式。

3. 存储子问题的解：动态规划通过存储这些子问题的解（通常在一个数组或其他数据结构中）来避免重复计算。

4. 构造最终解：从存储的子问题解中构造原问题的解。

斐波那契数：力扣题目链接

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

这道题遇到过很多次了，也非常简单：

这是递归的写法（显然一般都是不会用这个方法的）：

class Solution {
    public int fib(int n) {
    if(n==0){
        return 0;
    }
    if(n==1){
        return 1;
    }
    return fib(n-1) + fib(n-2);
    }
}

这还没有体现到动态规划的dp方程

用动态规划的思想来做：

题目直接就把动态转移方程给了我们：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

 

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n <= 1) return n;     
        //创建dp数组        
        int[] dp = new int[n + 1];
        //初始化
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;

        //递推公式
        for (int index = 2; index <= n; index++){
            dp[index] = dp[index - 1] + dp[index - 2];
        }
        return dp[n];
    }
}

递归五部曲：

确定dp数组及下标的含义：第 i 个数的值为dp[i]；

确定递推公式：题目已知：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

初始化：dp[0]=0,dp[1]=1；

确定顺序：从前往后，依次递推

举例推到验证；

爬楼梯：力扣题目链接

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

1.创建一个dp数组，dp数组代表的含义：到第i级楼梯，有dp[i]种方法；

2.递推公式：dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];

3.初始化dp数组:(我用的是从dp[1]开始，dp[1]=1,dp[2]=2)

4.顺序为从前往后，依次递推

5.验证：i=3时，dp[3]=dp[2]+dp[1] = 1+2 =3; .......

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n<=1){
            return n;
        }
    //创建dp数组，代表的意义(到第i级楼梯，有dp[i]种方法)
    int []dp  = new int[n+1];
    //递推公式
    //dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];
    //初始化dp数组
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    
    for(int i=3;i<=n;i++){
        dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];
    }
    return dp[n];
    }
}

下面这种是用了滚动数组的思想（其本质也是递推），这是代码写法不一样

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
     int p=0,q=0,r=1;
     for(int i =1;i<=n;++i){
         p = q;
         q = r;
          r =q+p;
     }
     return r;
    }
}

使用最小花费爬楼梯：力扣题目链接

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

1. 首先，确定了楼梯的总数，即变量 n 代表楼梯数量，通过 cost.length 获取。

2. 创建一个名为 dp 的数组，用于存储到达每个台阶所需的最小花费。数组长度为 n+1，以包括起始台阶和顶部台阶。

3. 初始化 dp 数组的前两个元素为 0，因为从第 0 级和第 1 级楼梯开始不需要支付额外费用。

4. 使用循环遍历从第 2 级楼梯到第 n 级楼梯的每个台阶。对于每个台阶 i，计算到达该台阶的最小花费，这是从前一级台阶 i-1 或前两级台阶 i-2 中选择最小花费的方式。

5. 最终，返回 dp[n]，即到达顶部楼梯的最小花费。
 

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
    int n = cost.length;
    //创建dp数组
    int []dp = new int[n+1];
    //递推公式：
    //爬到第i级楼梯需要支付的费用：要么是爬到i-1支付的费用加上当前还需要支付的费用
    //或者是爬到i-2支付的费用加上当前需要支付的费用
    //取最小的那个

    //dp[i] = Math,min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);

    //初始化dp数组
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 0;   //0,1级台阶可以直接上去，所以初始化为0

    //递推：
    for(int i=2;i<=n;i++){
       dp[i] = Math.min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);
    }
    return dp[n];
    }
}

主要就是递推公式和dp数组的初始化，结合贪心的思想，也比较容易写出来。

大丈夫生居天地间，

岂能郁郁久居人下？

Fighting1