梯度下降和反向传播：能改

一、背景

1.问题

通过顶点坐标公式，求解出抛物线最低点的w坐标，得到了让误差代价最小的w。同样的，也通过算数说明了这种一步到位求解的方式固然是好，但是在输入特征过多、样本数量过大的时候，却非常消耗计算资源。

2.思考

抛物线最低点的寻找过程，其实不必一步到位，大可以采用一点点挪动的方式。
通过在代价函数e与神经元的权重w图像上挪动w过程中发现，在最低点左侧，需要不断将w调大，在最低点右边，需要不断把w调小。
具体实施：斜率
开口向上抛物线，左边斜率为负数，右边斜率为正数，最低点斜率为0。

e=a$w^2$+b$w$+c

3.解决

想办法得到代价函数e在当前w取值这个点上的斜率。通过斜率判断当前w的取值是在最低点左边还是右边，然后不断调整w直到到达最低点，这样，就得到一个误差代价最小的权重w

二、问题转化：求一元二次函数的斜率

1. 定义法

在遥远的过去，我们的祖先曾坚定不移地相信“天圆而地方”，但自从麦哲伦完成环球航行，我们开始了解到地球其实是一个球，表面其实是一个曲面，我们之所以觉得大地是平直的，只是因为我们太过渺小，在这个巨大的蓝色星球上，我们的祖先用脚能够丈量的范围，相比于整个地球，实在是微不足道。

同样的道理，当我们看这个曲线的时候，它显而易见是弯的，我们此刻更像是“上帝视角”看见了它的全部，而当我们盯着一个点不断变小，变小，当我们足够小的时候，同样显而易见的是，曲线是直的，这种“直”是宏观的“弯曲”在微观中的一种近似。

而一个直线的斜率就十分好求

作为一个极小的生物，降落在曲线一个点计算出来的斜率

既然作为直线的斜率，那就必须保证两点之间的距离足够小，以保证足够近似一个直线。

问题：这个距离得是多小，才算小？是相对于地球表面，两个脚印之间的距离吗？是分子或者原子之间的距离吗？都不是。其实，这种无限小我们很难找到直观得物理表达。它更是一个数学上的概念：极限。
只有在曲线上一个点附近，取一个距离无线接近的点的时候，用直线的方法计算的斜率，才能称之为这个点的真实斜率。
我们不必取纠结这个无限小到底是多小，它只是数学上的一个概念和手段，当然，这个概念，也是微积分大厦的重要基石。

通过极限的数学表示： 当 △w 足够小的时候，△w会自然湮灭，所以这个点的斜率为 2aw+b

【数学上导数定义】在曲线中，某处的斜率我们一般会把它称为导数。用纵坐标的差值 / 横坐标的差值，并取极限。这种求导的方式，称为 定义法。用定义法，原则上可以求解任意一个函数任意一点的导数（可导的时候）

2. 求导公式和法则

定义法可以得到一个函数的导数，数学中常用的函数也就那么多，全部求出来做成一张表格形成固定的公式，用到的话直接查询。

问题：虽然常用的函数就那么多，但他们的组合又是无穷无尽。对于“无穷无尽”组合函数，我们不可能用有限的生命投入到无限的事情中，毕竟传统功夫，点到为止。但我们总是能琢磨出一些新的规律；实际上，不论怎样的函数组合都逃不脱3种基本的形式。

减法是加法的另一种形式，除法是乘法的另一种形式。


这与定义法得到的结果是一样。

3. 验证

在直线中斜率（导数）是个常数，因为斜率（导数）一直没什么变化
而在抛物线中斜率（导数）和自变量有关
这样，求得了代价函数每一点的斜率
小蓝的神经元终于可以根据代价函数的斜率是否大于0来调整w的行为了
问题：每次调整多少合适？

1. 尝试：每次调整0.01 ,会发现调整的过程有点慢，最低点处还反复震荡，无论当前w是多少，调整幅度固定了。
   

2. 聪明：当w距离最低点比较远的时候，希望调整得快些，逐渐接近最低点的时候，希望它慢一点。这样，能加快下降的速度，又能在最低点的时候，稳如老狗。好比给你一张图片，让你把图片中的圆形切割出来，一开始，我们大刀阔斧的切，而越到后来越精雕细琢的切。这样要比每次呆板的切掉固定的大小，效率高精度高。
   
   距离较远时，斜率的绝对值越大；距离越近时，斜率的绝对值越小，当接近最低点的时候，几乎为0，最低点的斜率就是0，是分界点。斜率在左右的符号又正好不同，在左边，斜率为负数，w在右边，斜率为正数
   方法：通过斜率的值
   
   当w在左边，斜率为 负数，新的w会增大
   当w在右边，斜率为 正数，新的w会变小
   同时，也做到了距离最低点比较远的时候，斜率大（绝对值）调整得多，大刀阔斧
   距离最低点比较近的时候，斜率小（绝对值），调整得少，精雕细琢

问题：调整的过程，太过震荡
方法：通过学习率alpha

这种根据曲线不同处“斜率”不断调整权重w的方式，也就是所谓的梯度下降
问题：为什么称之为 “梯度下降”而不是“斜率下降”？
回答：“梯度”是一个比“斜率”更为广泛的概念

当代价函数为二维的时候，可以称“斜率”
当扩展到三维空间的时候，斜率不太合适了

而当我们多次梯度下降的过程后,w收敛到最低点附近，停止梯度下降的过程，将此时的w作为预测模型中w的值。此时，便能相当准确完成预测了。

问题:为什么Rosenblatt感知器的参数调整方式好用？

梯度下降 比 “一步求解”的正规方程 的优势和在？

首先，单个样本情况，它的代价函数是一个开口向上的抛物线
接着，多个样本情况，所有样本合在一起时，代价函数仍然是一个开口向上的抛物线

合成代价函数的最低点，是整个样本的全局最优点
下降的过程是一个明确切顺滑的轨迹，这也就是标准的梯度下降，也称为“批量梯度下降”

如果每次只使用一个样本，这个样本的最低点不一定就是全局最优
如果不断的依次在这些单样本代价函数上进行梯度下降
虽然会有震动和波动，但多次以后，它们的整体趋势仍然会向全局最优点挪动
最后，也可成功，而不像“正规方程”中那样，一次性代入全部的样本进行计算
如果有海量的数据，你的机器，必然GG

每次取一个样本进行梯度下降，因为其收敛的过程是一个随机震荡的轨迹，所以，也称之为“随机梯度下降”，实际上，最后在最低点附近，这个震荡的轨迹是一个经典的“布朗运动”

批量的好处是可以并行计算，可以更容易像最优点收敛；但其缺点明显，100万个数据要同时算出来，和“正规方程”没啥区别了
随机的好处是海量的数据照样可以慢慢来，每次都更新参数，参数的更新过程变得更快；缺点是无法并行，且不容易向全局最优点收敛
所以，综合二者优缺点，我们向来喜欢“折中”的。人们往往采用调和的方法 mini bath （mini 批量梯度下降）

每次选择一小批进行梯度下降，“折中调和”真是经久不衰的智慧