数据预处理：数据的正态化和标准变换

一、正态数据

正态数据的分布是一个钟型分布，数据点的分布是中间高两边低的，例如一个学校里学生的身高。特别高和特别低的都少，高度居中的人较多。如下图（其中x轴为数据的取值，y轴为对应取值的频率）

二、数据需要正态化的原因

很多统计学的理论，如线性回归、假设检验和参数估计等，很多地方需要数据的分布为正态。而现实中的数据不一定服从正态或者是标准正态，因此需要对数据进行正态化，才可以使用已有的一些模型。有时候，模型的表现不好，可能跟数据的预处理有很大的关系。

三、两个指标判断是否是正态

数据一般有两个指标，样本均值和方差，一个是衡量数据分布的中心位置，另一个是衡量数据分布的离散程度。而正态分布也有l两个指标，偏度和峰度，其中偏度和数据分布的对称性有关，峰度与数据分的高矮胖瘦有关。

1. 偏度
   数据的偏度是衡量数据的分布是否是左右对称的。其中标准正态分布的偏度为零，非标准的数据分布分别称为“左偏”（偏度小于零，有极端小值）和“右偏”（偏度大于零，有极端大值）。

2. 峰度
   数据的峰度是衡量数据分布是否是高瘦的，还是胖乎乎的。其中标准正态分布的峰度为3，非标准的数据分布分别称为“尖峰”（峰度大于3，数据点较集中于中心位置）和“厚尾”（分度小于3，数据点较分散）。

四、如何对数据正态化

数据不是标准正态分布，正是因为数据的偏度和峰度与标准正态分布的不同。因此，解决数据正态化的关键，即判定数据的偏度和峰度问题，用对应的方法进行正态化。

1. 偏态数据正态化（偏度）

偏态数据的正态化处理方式一般有指数变换、对数变换、Box-cox变换等，需要根据数据的不同情况进行选择。

左偏态

左偏数据：又称为负偏态，数据的分布存在极端小值，数值较大的数据点比较集中。因此需要一种方法，缩小数值较小的点之间的距离，将数值较大的数据点的距离增大。（或者是相对地缩小和放大）

因此，这个时候可以指数变换，或者是其他的凹函数，因为指数变换在数据点的值较大的时候，变化率更大（导数），能把数值较大的数据点的距离增大。指数变换公式：$x_{new}=e^{x_{}}$