MATLAB中CVX工具箱解决凸优化问题的基本知识——语法、变量声明、目标函数、约束条件、cvx编程错误及解决方法

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前言

本文是在最近学习MATLAB CVX工具箱解决凸优化问题时学到的一些知识点，分享出来供大家参考。

进行CVX编程时，会遇到各种各样意想不到又难以解决的报错问题，如果编程过程中遇到了很多cvx bug和错误，可以阅读下面这篇文章，这篇文章总结了很多cvx编程错误，并给出了解决方法和代码实现：
MATLAB cvx错误汇总，cvx错误解决，cvx知识点总结，cvx编程技巧

CVX工具箱中有很多特定的，专有的函数，这些函数不仅能够简化表达式，还能够通过函数替换来解决很多报错问题，例如除法、取倒数、对数㏒函数等都有专门函数替代，下面这篇文章总结了cvx中常用的函数，阅读这篇文章一定会对你产生帮助！
MATLAB cvx工具箱中常用的替换函数汇总，解决表达式报错问题

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一、语法

1.cvx编程框架：
必须以cvx_begin开始，cvx_end结束。变量声明，目标函数和约束条件必须位于cvx_begin和cvx_end之间。
代码如下（示例）：

cvx_begin
    variable x(6,2);
    variable y(6,2);
    minimize(f(x,y));
    subject to
        x == a；  %必须等于某一个值
        x >= 0;   %保证大于等于零
        b <= 0;   %保证小于等于零
        sum(x) <= x_max;  %保证之和小于上限
cvx_end  

基本语句及其含义
注：修饰语句可以组合使用

语句	含义
cvx_begin quiet	不显示求解过程，只输出结果
cvx_begin sdp	采取半正定规划
cvx_begin gp	采取几何规划

二、变量声明

所有的变量必须在使用前以：variable 变量 （维度）
进行申明，variable命令包含变量名，可选的纬度列表
具体语句如下表：

语句	含义
variable X	标量
variable Y(n,m)	n*m维矩阵
variable Z(n,m,k)	多维矩阵
variable w(50) complex	复数向量
variable x(10) nonnegative	非负
variable Z(5,5) semidefinite	半正定（对称正定矩阵）
variable Q(5,5) complexsemidefinite	厄密共轭矩阵
variable p(10) integer	整数变量
variable q binary	二进制变量
variable Y(50,50) symmetric	对称矩阵
variable Z(100,100) hermitiantoeplitz	厄密共轭常对角矩阵

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三、目标函数

1.申明目标函数要求使用minimize或maximize函数
2.调用minimize的目标函数必须是凸的
3.调用maximize的目标函数必须是凹的

例如：
minimize( norm( x, 1 ) )

maximize( geo_mean( x ) )

如果不指定目标函数，问题将被解释成可行性问题，如果可行性点找到，cvx_optval将设定为0，否则将为+Inf。

四、约束条件

CVX支持下列约束类型

1.相等 ==，等式左右两边是仿射表达式

2.小于 <= 不等式约束，左边表达式是凸的，右边表达式是凹的。

3.大于 >= 约束，左边表达式是凹的，右边表达式是凸的。

注：可以使用链式不等式：如l <= x <= u.

五、函数

cvx工具包支持的基本函数：

sum：求和
trace：迹
diag：对角
sqrt：根号
max和min：最大最小

其他复杂函数参考Reference guide

注：可以使用自己定义的函数，直接调用即可。

六、cvx特有的数学运算表达式

在进行cvx求解优化问题时，会出现各种匪夷所思的错误（如下图），搞人心态，尤其是一些MATLAB常用的基本数学表达式在cvx中经常报错，比如除法运算。
常见错误： Cannot perform the operation: {real affine} ./ {positive constant}

其实cvx工具箱中有很多专属的数学运算表达式，例如关于变量的次方符号（^）是不允许的，需要替换为pow_pos(x,n)。下面列出一些常见的替换表达式：
1.平方/次方表达式

语句	含义
square_pos	平方，square_pos(X)=MAX(X,0).^2
square ( x ) (real x)	x.*x
sum_square_abs ( y )	y’* y

2.矩阵范数、log函数

语句	含义
rel_entr	log函数，rel_entr(x,y) = xlog(x/y)
norms()	取范数
square_abs ( x )	conj( x ) .*x
quad_form ( A*x - b,o )	(A*x-b)'Q(Ax-b)

3.cvx除法（cvx最麻烦、最容易出错的表达式）

语句	含义
inv_pos	分式或倒数，inv_pos(X) = 1./X
prod_inv(x)	对X中每个元素取到数再求和，Πi​(xi​)−1
quad_over_lin(x,y)	X转置乘x再除以y， x^Tx/y
quad_pos_over_lin(x,y)	sum_square_pos( x ) / y

4.其他小技巧

七、常见错误

错误1：
无法从 cvx 转换为 double

错误1解决办法：
如果变量声明是在cvx表达式之外，那么cvx运行过程中会产生数据从cvx类型存到double（外面是double的）的过程。必须要将中间变量在cvx表达式里面进行定义。
在cvx_begin和cvx_end之间用variable声明变量。

错误2：
This is often an indication that an equality constraint was written with one equals ‘=’ instead of two ‘==’. The model must be rewritten before cvx can proceed.
错误2原因：
cvx中的variable变量不是允许人为赋值的，只有在最后得出结果才会被结果覆盖，使用等号对某一个变量进行赋值是不允许的，cvx会动态优化变量，不允许人为赋值。
错误2解决办法：
使用expression声明临时变量，临时变量可以在cvx求解过程中进行人为赋值，整个求解结束时该变量被自动清除。
expression变量是可以使用“=”的临时变量

// 声明临时变量
cvx_begin

    variable a;   %优化变量，不可以赋值修改，可以用双等号==来写约束条件
    expression b;  %临时变量，可以用等号=来赋值修改
    minimize(f(x));
    subject to
       a == 0;  %约束条件，a必须等于零
       b = 10;  %给b赋值为10，优化结束后自动清除
 			
cvx_end  

错误3：
点除运算出现错误，出错 ./ (line 29)
错误3解决办法：
用错误提示给出的语法去纠正错误
例如：1./x报错，修改为：times(1, x, ‘./’)
再比如：z = x ./ y 报错，修改为：z = times(x, y, ‘./’)

错误4：
点除运算出现错误，出错 ./ (line 29)

错误4解决办法：
例如： x ./ y报错
用inv_pos(y)来代替y，上式修改为x .* inv_pos(y)

// 错误4
minimize(x ./ y);
//修改为
minimize(x .* inv_pos(y));

还有很多cvx错误这里不再一一列举，详细错误总结在我另一篇博客：
MATLAB cvx错误汇总，cvx错误解决，cvx知识点总结，cvx编程技巧

八、进阶阅读

1.CVX工具箱中有很多特定的，专有的函数，这些函数不仅能够简化表达式，还能够通过函数替换来解决很多报错问题，例如除法、取倒数、对数㏒函数等都有专门函数替代，下面这篇文章总结了cvx中常用的函数，阅读这篇文章一定会对你产生帮助！
MATLAB cvx工具箱中常用的替换函数汇总，解决表达式报错问题

2.如果是对MATLAB基础操作，尤其是涉及到矩阵操作、逻辑运算、数组生成等方面不是很熟悉的，可以参考下面这篇文章：
MATLAB基础操作，矩阵乘法、数组矩阵索引、最大最小运算符、零矩阵/随机矩阵/单位矩阵的生成、log函数、Inf和NaN的含义，语句过长用连接符换行、逻辑运算符以及区别

3.如果程序调试成功需要画结果图，但是对MATLAB画图的基本知识和语法搞不清楚的，可以参考下面这篇文章：
MATLAB绘图必看，画图大全！MATLAB绘图基础操作大全—折线图、散点图、颜色样式、线条粗细汇总

参考资料

参考视频：
https://www.bilibili.com/video/BV1UQ4y1K7Vf/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=aaf9c92065709eaa104228d5528a5d21
参考文章：
1.https://blog.csdn.net/gongshouxiayin/article/details/122477776?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522168301606916800222832721%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334…%2522%257D&request_id=168301606916800222832721&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2_alltop_positive~default-1-122477776-null-null.142^v86insert_down38v5,239^v2insert_chatgpt&utm_term=cvx&spm=1018.2226.3001.4187

2.https://www.jianshu.com/p/69bf890e1b1d