何为数学模型

当我们考察一个物理问题的解答时，十有八九
能够就其中科学贡献部分和数学贡献部分划出一道
清晰的界线。科学家在观察和实验的基础上，作一
些简洁性与解释有效性的一般性考虑，建立一种理
论。数学家，或者做数学的科学家，则研究理论的
纯粹逻辑结果。有时候，这些情形是常规计算的结
果，常规计算所预言的现象正是理论在提出时所要
解释的。在某些偶然的情况下，理论所作出的预言
则完全出乎意料。如果这些意料之外的现象后来被
实验所证实，那么我们就得到了支持这种理论的重
要证据。
然而，由于我上面所讨论到的简化问题，“证
实一项科学预言”的概念就多多少少有了些问题。
让我们考虑另一个例子：牛顿的运动定律和引力定
律告诉我们，两个物体从同样的高度开始作自由落
体运动，它们将同时到达地面（如果地面平坦）。
这种现象由伽利略首先提出，它有点违背我们的直
觉。实际上，它违背的不仅是我们的直觉：如果你
亲自试一试，比方说用高尔夫球和乒乓球，你会发
现高尔夫球首先落地。既然如此，究竟在什么意义
上伽利略的论断是正确的呢？
当然，由于空气阻力的存在，我们不可能把这 数学模型是对现实世界的简化
个小实验当作伽利略理论的反例：实验证明，当空
气阻力很小时理论是正确的。如果你对此有所怀
疑，觉得空气阻力实在稀松平常，怎能总是挽救牛
顿力学的预测于失败之际，那么，找个机会去观察
一下羽毛在真空中的下落，你就能重拾对科学的信
念以及对伽利略的赞赏——真空中，羽毛的下落的
确与石头别无二致。
尽管如此，由于科学观察永远不是完全直接性
和决定性的，我们仍需要一种更好的方式来描述科
学与数学之间的关系。数学家并不是将科学理论直
接应用于现实世界中，而是应用于模型上。在这
里，模型可以看作是所要研究的那部分现实世界的
一种虚构、简化的版本。在模型里，我们就有可能
进行完全精确的计算。在扔石头的例子中，现实世
界与模型的关系正如同图1和图2所展示的那样。
对于一种给定的物理情形，有多种方法将其模
型化。我们需要结合切近的经验与深入的理论考量
来决定，哪种模型更有可能向我们透露世界的本
真。选择模型时，有一个需要优先考虑的因素，即
模型的行为应当与实际中观察到的行为密切对应。

但是，诸如简洁、数学表达上的优雅等其他因 科学活在自己定义的框架中
素可能反而时常会更重要一些。实际上，确实有一
些模型在现实世界中几乎找不到任何相似之物，但
同时却非常有用。接下来有一些例子将会对此进行
说明。