代码随想录第五十天——买卖股票的最佳时机|||，买卖股票的最佳时机IV

leetcode 123. 买卖股票的最佳时机|||

题目链接：买卖股票的最佳时机|||
本题关键在于至多买两次，代表可以买卖0，1，2次。

1. 确定dp数组以及下标的含义
   一天一共可以有五个状态：
   0.没有操作 （可以不设置这个状态）
   1.第一次持有股票
   2.第一次不持有股票
   3.第二次持有股票
   4.第二次不持有股票
   dp[i][j]中 i表示第 i 天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j] 表示第 i 天状态 j 所剩最大现金。
2. 确定递推公式

（1）达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

• 操作一：第i天买入股票了，dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，沿用前一天买入股票的状态，dp[i][1] = dp[i-1][1]
  则dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1])

（2）达到dp[i][2]有两个操作：

• 操作一：第i天卖出股票了，dp[i][2] = dp[i-1][1] + prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，dp[i][2] = dp[i-1][2]
  则dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

（3）dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i])

（4）dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i])

3. dp数组初始化
   第0天没有操作，dp[0][0] = 0
   第0天第一次买入，dp[0][1] = -prices[0]
   第0天当天买入，当天卖出，dp[0][2] = 0
   第0天第二次买入操作依赖第0天第一次卖出，然后再买入，dp[0][3] = -prices[0]
   第0天两次买入卖出，dp[0][4] = 0
4. 确定遍历顺序
   dp[i]依靠dp[i - 1]推出，所以需要从前向后遍历。
5. 举例推导dp数组

最大的时候一定是卖出的状态，两次卖出的状态种现金最大一定是最后一次卖出。如果第一次卖出已经是最大值了，那么我们可以在当天立刻买入再立刻卖出。所以dp[4][4]已经包含了dp[4][2]的情况。所以最终最大利润是dp[4][4]。

版本一：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        if (prices.size() == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(5, 0));
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][3] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0];
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
            dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
        }
        return dp[prices.size() - 1][4];
    }
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n × 5)

版本二：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        if (prices.size() == 0) return 0;
        vector<int> dp(5, 0);
        dp[1] = -prices[0];
        dp[3] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
            dp[1] = max(dp[1], dp[0] - prices[i]);
            dp[2] = max(dp[2], dp[1] + prices[i]);
            dp[3] = max(dp[3], dp[2] - prices[i]);
            dp[4] = max(dp[4], dp[3] + prices[i]);
        }
        return dp[4];
    }
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

leetcode 188. 买卖股票的最佳时机IV

题目链接：买卖股票的最佳时机IV

1. 确定dp数组及下标的含义
   dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]
   j的状态，0表示不操作，除了0以外，偶数是卖出，奇数是买入

vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2 * k + 1, 0));

2. 确定递推公式

for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
    dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
    dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}

3. dp数组初始化
   偶数初始化为0，奇数初始化为 -prices[0]

vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2 * k + 1, 0));
for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
    dp[0][j] = -prices[0];
}

4. 遍历顺序
   从前到后遍历

整体代码如下：

class Solution {
public:
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {

        if (prices.size() == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2 * k + 1, 0));
        for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
            dp[0][j] = -prices[0];
        }
        for (int i = 1;i < prices.size(); i++) {
            for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
                dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
                dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
            }
        }
        return dp[prices.size() - 1][2 * k];
    }
};

时间复杂度: O(n * k)，其中 n 为 prices 的长度
空间复杂度: O(n * k)