算法学习：动态规划之爬楼梯问题

一、爬楼梯

问题：一个楼梯共有 n 级台阶，每次可以走一级或者两级，问从第 0 级台阶走到第 n 级台阶一共有多少种方案。

分析：

爬到1阶  1种方法  （1)

爬到2阶  2种方法（1+1   2）

爬到3阶  3种方法（只能从2阶或者1阶迈上来，因此到达3阶的方法为到达1阶＋2阶的方法之和 1+1+1   1+2    2+1）

同理 爬4阶 5种方法（只能由2阶或3阶迈上来  1+1+1+1   1+1+2   1+2+1   2+1+1   2+2）

分析可知该问题就是斐波那契数列问题

• dp[i]的定义：爬到第 i 阶楼梯有 dp[i] 种方法
• 第 i 阶可以由 i-1 阶和 i-2 阶迈上来
• 递推式为：dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
• dp[1]=1,dp[2]=2;

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(n<=1) return n;
        vector dp(n+1);
        dp[1]=1,dp[2]=2;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
};

二、使用最小花费爬楼梯

问题：给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1：

输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。
- 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 15 。

示例 2：

输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出：6
解释：你将从下标为 0 的台阶开始。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 6 。

• 使用dp数组记录到达第 i 阶所需的最小花费dp[i]
• 第 i 阶可以由第 i-1 阶或者 i-2 阶到达，取小者
• dp[i] = min( dp[i-1] + cost[i-1] , dp[i-2] + cost[i-2] )
• dp[0]=dp[1]=0  //你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

  class Solution {
  public:
      int minCostClimbingStairs(vector& cost) {
          int n=cost.size();
          vector dp(n+1);
          dp[0]=dp[1]=0;
          for(int i=2;i<=n;i++){
              dp[i]=min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);
          }
          return dp[n];
      }
  };