动态规划——最长上升子序列（LIS）

写在前面

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如果没看过我前面关于01背包问题（良心正解）和完全背包问题（良心正解）动态规划——多重背包问题(保姆级教学）动态规划——分组背包问题（不看后悔系列）的宝宝可以先去看看，可以让你对动态规划的理解更透彻

DP核心思路

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LIS（最长上升子序列）

题目

思路

重要变量说明
a[i]：存的第i个数
f[i]：表示以a[i]结尾的最长上升子序列

1. 对于每一个数字a[i]，我们都有i-1选择：
   • 和第一个数a[1]比较，如果a[i]>a[1]，那么a[i]可以加在以a[1]为结尾的最长上升子序列中
   • 和第二个数a[2]比较，如果a[i]>a[2]，那么a[i]可以加在以a[2]为结尾的最长上升子序列中
   • ......
   • 和第i-1个数a[i-1]比较，如果a[i]>a[i-1]，那么a[i]可以加在以a[i-1]为结尾的最长上升子序列中
2. 因为我们是要求最长的上升子序列，所以我们每次都只保留最大的f[i]
3. 循环完，我们要求整个序列的最长上升子序列，所以我们要遍历f[]，找到最大值。

代码

#include

using namespace std;
const int N=1010;
int a[N],f[N];

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i]=1;     //这属于初始化，因为对于每一个数字，自己单独一定是一个上升子序列
        cin>>a[i]; 
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)       //i表示枚举到以a[i]结尾的最长上升子序列
        for(int j=1;j<i;j++)        //j表示从数组中下标小于i的数枚举，看能不能加到a[i]加到以a[j]为结尾的上升子序列后面
            if(a[i]>a[j])       //如果满足要求，那就表明a[i]可以加到以j结尾的最长上升子序列
                f[i]=max(f[i],f[j]+1);      //对于每一种可能取最大值
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)       //求最大值
        res=max(res,f[i]);
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

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优化

我们发现这种方法的时间复杂度是$O(n^2)$，这让人有点难以接受，于是我们想能不能优化一下算法

思路

1. 我们构造一个数组f[i]，表示长度为i的上升子序列的末尾的最小的元素（至于为什么会有这种的奇诡的定义，我在后面会解释的）
2. 我们遍历数数组，把a[i]与f[cnt](cnt表示f[]数组最后一个元素的下标），就有两种情况：
   • a[i]>f[cnt],我们就把a[i]加到f[cnt]后面
   • a[i]<=f[cnt]，我们就用二分查找去查找f[]中第一个大于等于a[i]的下标，然后用a[i]去替代这个元素
3. 遍历完整个数组，f[]的长度就是最长上升子序列（但注意f[]存可能不是最长上升子序列，只能说f[]的长度和整个数组的最长上升子序列长度一样）

代码

#include

using namespace std;
const int N=100010;
int f[N],a[N];

int bsearch(int l,int r,int x)
{
    while(l+1!=r)
    {
        int mid=(l+r)/2;        
        if(f[mid]>=x)
            r=mid;
        else
            l=mid;
    }
    return r;
}

int main()
{
    int n,cnt=1;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    f[cnt]=a[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]>f[cnt])
            f[++cnt]=a[i];
        else 
        {
            int k=bsearch(0,cnt+1,a[i]);
            f[k]=a[i];
        }
    }
    cout<<cnt<<endl;
}   

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优化说明

• f[]的长度就是最长上升子序列（但注意f[]存可能不是最长上升子序列，只能说f[]的长度和整个数组的最长上升子序列长度一样），这算是这个方法的缺陷了。
• 关于这个做法的原理是基于贪心的，我们要求的是最长的上升子序列，当然不愿意越算子序列长度反而越小了。因此，如果我们目前算出的结果还没以前的长，会暂时保留以前的结果，当然也不丢弃目前的结果，因为之后继续计算的话，目前的结果可能更优。为了实现上述目的，我们可以用新序列从左到右逐渐覆盖掉旧序列。当新序列长度<原序列长度时，原序列没有被完全覆盖，因此保证长度不减小；当新序列长度 ≥ 原序列长度时，原序列已经被完全覆盖，现在就是以新序列为基础进行计算了。(还是不理解的童鞋可以自己举例子理解试试）

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写在最后

如果你觉得我写题解还不错的，请各位王子公主移步到我的其他题解看看
数据结构与算法部分（还在更新中）：
C++ STL总结 - 基于算法竞赛（强力推荐）
动态规划——01背包问题
动态规划——完全背包问题
动态规划——多重背包问题
动态规划——分组背包问题
最短路算法——Dijkstra（C++实现）
最短路算法———Bellman_Ford算法（C++实现）
最短路算法———SPFA算法（C++实现）
最小生成树算法———prim算法（C++实现）
最小生成树算法———Kruskal算法（C++实现）
染色法判断二分图（C++实现）
Linux部分（还在更新中）：
Linux学习之初识Linux
Linux学习之命令行基础操作

✨总结

“种一颗树最好的是十年前,其次就是现在”
所以,
“让我们一起努力吧,去奔赴更高更远的山海”

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