中值定理与导数应用

微分中值定理

罗尔定理

以法国数学家米歇尔·罗尔命名的罗尔中值定理（英语：Rolle's theorem）是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，叙述如下：

如果函数f(x)满足：

（1）、在闭区间[a, b]上连续（没有断点）

（2）、在开区间[a, b]上可导（光滑的）

（3）、f(a) = f(b)

则（也就是说平行于X轴）

注意

若是有给出了可以优先考虑一下，用罗尔定理

证明题解法

步骤:

        （1）、构造函数f(x)

        （2）、验证3个条件

        （3）、由罗尔定理可知，         

例题一

思路：若是细腻一点，就可以看出下面那条是上面那条方程的的导数函数，即是：。所以，最终也是让你证明是罗尔定理，最终得出结论从而证明出这题。

例题二

思路：我们可以看到，这个又是连续又是可导，可以猜出这可能又是与罗尔定理有关的。但是呢这里的，又不符合的样子？别急，我可以把式子变为.这样的话又符合了。最后按照一步步证明得，这是一个罗尔定理，最后证明得结果 

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理，也简称均值定理，是以法国数学家约瑟夫·拉格朗日命名，为罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理。

如果满足：

1、在上连续;

2、在内可微分（可导）；0

那么至少有一点 使下面等式成立

即是

图像

证明题解法

步骤：

        构造函数f(x)

        验证2个条件

        由拉尔定理可知，下结论，对结论式子变形

例题1

解法：我第一次看这种题型的时候也是一脸的懵逼的，不知如何下手。但是在仔细观察的话，可以发现，只要把,可以变形一下，然后再再把不不等式左右两边改变一下。最后就可以看出是一个拉格朗日中值定理函数，最后在进行运算 ，得出结果。

例题2

思路：下看到这种题型，一定要瞬间明白这是要让你证明拉格朗日。按上一题的思路是一样的。

放出步骤：

                    构造函数f(x)

                    验证2个条件

                    由拉尔定理可知，下结论，对结论式子变形

证明：

令

显然可以看出在区间   上连续， 在开区间可导。所以这是一个符合拉格朗日的函数。

由拉格朗日定理可知，使得

(现在从左边范围推出右边范围)

所以

所以

所以 

例题3

思路：一看这题目，可以很明显的看出可能又是要拉格朗定理有关，只要我们变变形就可以了。这边不掩饰。

零点定理

        设函数闭区间内连续，,则存在区间至少存在一点，使得:

函数的单调性、极值与最值

1、单调性

(1）判定方法：

        

       

（2）讨论单调性(单调区间)的步骤

           ①、求定义域

           ②、求出 和 不存在的点，讲定义域划分若干个子区间

           ③、列表，根据在子区间内的符号，确定单调性。

2. 极值

（1）极值的定义

，则为极大值点，为极大值

，则为极小值点，为极小值

（2）极值的判定

            ①、第一判定定理

                    

                     注：极值点是单调性的分界点，左右两侧f’(x)必然是异号 

            ②、第二判定定理

                

                            

                            

（3）驻点

若是，则为的驻点

        注意：

若是为f(x)的极值点，则或不存在

（5）求极值点和极值的步骤：

            ①、确定f(x)定义域

            ②、求导,并求出不存在的点

              ③、列表

例子1

求函数的单调区间和极值

解法：一般这种情况，都是都可以按照步骤来这样很简单都是可以求出来的，至于简单的运算，就不展开讲了。

3. 最值

步骤：

        ①、求出所以

        ②、求出①中所有点的函数值和端点处的函数值

        ③、

函数的凹凸性与拐点

凹凸性

    1、凹曲线：曲线上的任意点处的切线总位于曲线的下方

    2、凸曲线：曲线上的任意点处的切线总位于曲线的上方

凹凸性的判定

拐点

1、凹凸性的分界点称为拐点，记作 。拐点左右两侧必然异号.

2、若点是曲线

凹凸区间及拐点的求解步骤：

（1）、求出定义域

（2）、求出的点 

（3）、列表，由符号得出凹凸区间，凹凸区间的分界点即为拐点

例子

思路：我们把它进行二次导以及找出定义域，最后令得出来的二阶导函数小于0，得出取值范围，再根据定义域得出最后的凸区间

渐近线

水平渐近线

若 则称的一条水平渐近线。

函数趋近于无穷大时，是否是常数

垂直渐近线

，则称是

利用单调性证明不等式和根的存在性

一、不等式的证明步骤：

（1）、构造函数f(x)

（2）、求导判断单调性

（3）、大于最低点，小于最高点

例子1

思路：按我们大标题来说，我们应该用单调性来证明不等式根的存在性。这里我们首先构造出一个函数，然后再求导得出他们的单调性最后在证明例子成立

所以有

因为

所以

所以

所以

又因为

所以

所以

二、唯一根的证明步骤

（1）、利用零点或罗尔定理证明至少有一个根

（2）、求导判断函数单调性，得唯一根

例题1

思路：我们先用罗尔定理或者零点定理证明至少有一个跟，然后在求导，得出单调性以及无不存在点得唯一根。

例题2 

已知函数，试问方程在区间（0， +∞）有多少个实根

思路：这一个题目有点意思啊，我们可以按步骤一步步来，但是我们用零点定理来证明只至少有一个根时，考虑到定义域时，不是闭区间，所以要用来代替f(0), f(∞)

恒等式的证明

步骤：

（1）、构造函数

（2）、求导验证

（3）、

例题