堆排序——c语言实现

堆的概念

堆的定义

堆可以定义为一颗二叉树，树的节点包含键（每个节点一个键），并且满足下面两个条件：

1. 堆的形状要求是一颗完全二叉树，意识就是说，树的每一层都是满的，除了最后一层最右边的元素可能有缺位
2. 父母优势要求，就是说每一个节点的键都要大于或等于它子女的键。

堆的判断

下面这个就不是堆，因为不是完全二叉树

下面这个也不是堆，堆的节点比子节点大，4比5小

下面这个是堆

堆的特性

1. 一颗n个节点的完全二叉树。它的高度是:[log2n]（log以2为底，[]表示向下取整）
2. 堆的根总是包含堆的最大元素
3. 堆的一个节点以及该节点的子孙也是一个堆
4. 可以用数组来实现堆，方法是从上到下，从左到右的方式来记录堆的元素，当有n个元素时，存放在数组的1~n的位置上。此时有：
   a 父母节点会在位于数组的前n/2个位置中，而叶子节点将会在占据后n/2个位置
   b 在数组中，当父母位置为i时，则子女节点会在2i和2i+1。对于一个位于i的键来说，它的父母节点位于i/2。

堆的构造

构造堆有两种方法，一种是自底向上堆构造；另一种是自定向下堆构造。

自底向上构造

对于堆来说，每一个父母节点的值都要大于子女节点。所以从最后一个父母节点开始，一直到根节点，判断子女节点是否比父母节点的值小，如果大，则将交换父母节点和子女节点的值。
以2，9，7，6，5，8为例：

自顶向下构造

自顶向下堆构造算法的效率低，就是通过把新的键连续插入预先构造好的堆，然后将其值与父母进行比较直至根节点或值小于父母节点时，来构造一个新堆。
比如在下面的堆中插入9：

关于最大堆，最小堆

最大堆就是父节点比子节点大，最小堆就是父母节点比子节点小。

堆排序

堆排序的一般过程

这里以

1. 构造堆，堆给定的数组构造堆
2. 删除最大键，将最大值和最后一个叶子结点进行交换，然后删除
3. 将删除后重新整合，使之成为一个堆，重复2

堆排序样例过程图解

以2，9，7，6，5，8为例

c语言代码

#include 
int num;
void BuildHeap(int A[],int i,int N)	//构造堆  
{
	int c,temp;
    for (temp=A[i];2*i<=N;i=c)	//temp记录下父母节点的值，c为一个子女节点 
	{
        c=2*i;				
        if(c<N&& A[c+1]>A[c])//找到最大的子女节点 
            ++c;              
        if(temp<A[c])		//父母节点值等于子女节点中大的 
            A[i]=A[c];		
        else
            break;					
    }
    A[i]=temp;//对被交换的子女节点赋值 比如在2 9 8 6 5 7中9和2交换后，2需要和6再进行交换，最后只需要对6最开始的位置赋值2就行 
}
void Heapsort(int a[])	//排序 
	{
		int i,temp;
		for(i=num/2;i>=1;i--)	//从最后一个父母节点开始，知道根节点 
			{
				BuildHeap(a,i,num);
			}
		for(i=num;i>0;i--)	//删除根节点后，重新构造堆 
			{
				temp=a[1];
				a[1]=a[i];
				a[i]=temp;
				BuildHeap(a,1,i-1);
			}
	}
int main()
{
	printf("请输入要排序的数的个数："); 
	scanf("%d",&num);
	int i,a[num+1];
	printf("请输入元素：");
	for(i=1;i<=num;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	Heapsort(a);
	for(i=1;i<=num;i++)
		printf("%d ",a[i]);
 } 

参考书籍：算法设计与分析基础