算法学习记录
1-1. 快速排序代码实现：
#include 1-2. 快速选择算法找出第 k 个数
#include 2-1. 归并排序代码实现：
#include 2-2. 逆序对的数量
#include - 整数二分查找
#include - 浮点数二分查找
#include 【注】本题的数据类型只能用 double，不能用 float，因为 float 的精度（即有效数位）只有7位，循环体要求小数点后 8 位，若用 float，有可能会超时。
- 高精度运算
用一个数组来存放高精度数，如：
原始数字：123456789
存储：
Rank: 0 1 2 3 4 5 6 7 8
a[i]: 9 8 7 6 5 4 3 2 1
5-1. 高精度加法代码如下：
#include 5-2. 高精度减法代码：
#include 5-3. 高精度乘法：
#include 5-4. 高精度除法
#include 6.前缀和
给定原数组 a 1 , a 2 , … , a n a_1, a_2, \ldots, a_n a1,a2,…,an，则前缀和数组 { S n } \{S_n\} {Sn} 定义为：
S i = a 1 + a 2 + ⋯ + a i (注意：下标从1开始) S_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_i \quad\text{(注意：下标从1开始)} Si=a1+a2+⋯+ai(注意：下标从1开始)
特别地，规定 S 0 = 0 S_0 = 0 S0=0。
前缀和数组的递推式： S i = S i − 1 + a i S_i = S_{i-1} + a_i Si=Si−1+ai
前缀和数组的作用：在 O ( 1 ) O(1) O(1) 时间内，对区间 [ l , r ] [l, r] [l,r] 内的数组 a l , ⋯ , a r a_l, \cdots, a_r al,⋯,ar 求和，即：
∑ i = l r a i = S r − S l − 1 \sum \limits _{i=l}^{r} a_i = S_r - S_{l - 1} i=l∑rai=Sr−Sl−1
加速 cin 的读取：
ios::sync_with_stdio(false); // 副作用：关掉这个开关之后，在程序中就不能再混用scanf/printf和cin/cout了
数据输入规模大于等于一百万时，建议用 scanf，否则建议用 cin。（scanf 可能会比 cin 快一倍）
6-1. 一维前缀和：
#include 6-2.二维前缀和（矩阵）
二维前缀和的递推式：
S i , j = S i , j − 1 + S i − 1 , j − S i − 1 , j − 1 + a i , j S_{i, j} = S_{i, j-1} + S_{i-1, j} -S_{i-1, j-1} + a_{i, j} Si,j=Si,j−1+Si−1,j−Si−1,j−1+ai,j
二维前缀和的作用：在 O ( 1 ) O(1) O(1) 时间内，对区域 ( x 1 , y 1 ) (x_1, y_1) (x1,y1)~ ( x 2 , y 2 ) (x_2, y_2) (x2,y2) 内的元素求和：
∑ i = x 1 j = y 1 i = x 2 j = y 2 a i , j = S x 2 , y 2 − S x 2 , y 1 − 1 − S x 1 − 1 , y 2 + S x 1 − 1 , y 1 − 1 \sum \limits _{\substack{i=x_1\\j=y_1}}^{\substack{i=x_2\\j=y_2}} a_{i,j} = S_{x_2, y_2} - S_{x_2, y_1-1} - S_{x_1 - 1, y_2} + S_{x_1 - 1, y_1 -1} i=x1j=y1∑i=x2j=y2ai,j=Sx2,y2−Sx2,y1−1−Sx1−1,y2+Sx1−1,y1−1
二维前缀和代码：
#include 7.差分数组
定义：给定数组 a 1 , a 2 , ⋯ , a n a_1, a_2, \cdots, a_n a1,a2,⋯,an，若存在数组 b 1 , b 2 , ⋯ , b n b_1, b_2, \cdots, b_n b1,b2,⋯,bn，使得数组 { a n } \{a_n\} {an} 是数组 { b n } \{b_n\} {bn} 的前缀和，即 ∀ 1 ≤ i ≤ n \forall 1 \le i \le n ∀1≤i≤n，都有 a i = b 1 + b 2 + ⋯ + b i a_i = b_1 + b_2 + \cdots +b_i ai=b1+b2+⋯+bi 成立，则称 { b n } \{b_n\} {bn} 是 { a n } \{a_n\} {an} 的差分数组。
一维差分数组的构造方法：只需令 b 1 = a 1 b_1 = a_1 b1=a1， b 2 = a 2 − a 1 b_2=a_2-a_1 b2=a2−a1， ⋯ \cdots ⋯， b n = a n − a n − 1 b_n=a_n-a_{n-1} bn=an−an−1 即可。
差分数组的作用1：若要对原数组 { a n } \{a_n\} {an} 在某个区间 [ l , r ] [l,r] [l,r] 内的所有元素都加上一个数 c c c，则利用差分数组，只需在 O ( 1 ) O(1) O(1) 时间内即可完成。其具体做法是令 b l ← b l + c b_l \leftarrow b_l + c bl←bl+c 同时令 b r + 1 ← b r + 1 − c b_{r+1} \leftarrow b_{r+1} - c br+1←br+1−c。证明如下：
a l = b 1 + b 2 + ⋯ + b l a l + 1 = b 1 + b 2 + ⋯ + b l + b l + 1 ⋯ a r = b 1 + b 2 + ⋯ + b l + b l + 1 + ⋯ + b r a r + 1 = b 1 + b 2 + ⋯ + b l + b l + 1 + ⋯ + b r + b r + 1 \begin{aligned} & a_l = b_1 + b_2 + \cdots + b_l \\ & a_{l+1} = b_1 + b_2 + \cdots + b_l + b_{l+1} \\ & \cdots \\ & a_r =b_1 + b_2 + \cdots + b_l + b_{l+1}+\cdots + b_r \\ & a_{r+1} =b_1 + b_2 + \cdots + b_l + b_{l+1}+\cdots + b_r + b_{r+1} \\ \end{aligned} al=b1+b2+⋯+blal+1=b1+b2+⋯+bl+bl+1⋯ar=b1+b2+⋯+bl+bl+1+⋯+brar+1=b1+b2+⋯+bl+bl+1+⋯+br+br+1
若让 b l b_l bl 变成 b l + c b_{l}+c bl+c，同时让 b r + 1 b_{r+1} br+1 变成 b r + 1 − c b_{r+1}-c br+1−c，则数组 { a n } \{a_n\} {an} 在区间 [ l , r ] [l,r] [l,r] 内的所有元素都将加 c c c。
差分数组的作用2：若差分数组已知，则只需对差分数组求一遍前缀和，即可在 O ( n ) O(n) O(n) 时间内得到原数组。
一维差分代码：
#include 7-2. 二维差分
设 { a i j } \{a_{ij}\} {aij} 是原数组， { b i j } \{b_{ij}\} {bij} 是其差分数组，如果想让区域 ( x 1 , y 1 ) (x_1, y_1) (x1,y1)~ ( x 2 , y 2 ) (x_2,y_2) (x2,y2) 内所有的 a i j a_{ij} aij 都加上一个数 c c c，则需同时进行以下四步操作：
b x 1 , y 1 ← b x 1 , y 1 + c ; / / 该操作会使(x1,y1)右下角的所有元素a都加上c b x 2 + 1 , y 1 ← b x 2 + 1 , y 1 − c ; b x 1 , y 2 + 1 ← b x 1 , y 2 + 1 − c ; b x 2 + 1 , y 2 + 1 ← b x 2 + 1 , y 2 + 1 + c . \begin{aligned} & b_{x_1, y_1} \leftarrow b_{x_1, y_1} + c; //\text{该操作会使(x1,y1)右下角的所有元素a都加上c}\\ & b_{x_2+1, y_1} \leftarrow b_{x_2+1, y_1}-c; \\ & b_{x_1, y_2+1} \leftarrow b_{x_1, y_2+1}-c; \\ & b_{x_2+1, y_2+1} \leftarrow b_{x_2+1, y_2+1} + c. \end{aligned} bx1,y1←bx1,y1+c;//该操作会使(x1,y1)右下角的所有元素a都加上cbx2+1,y1←bx2+1,y1−c;bx1,y2+1←bx1,y2+1−c;bx2+1,y2+1←bx2+1,y2+1+c.
二维差分代码：
#include 8-1.最长连续不重复子序列
/* 双指针算法的通用模板 */
for (int i = 0, j = 0; i < n; i++)
{
while (j < i && check(i, j)) j++;
// 每道题目的具体逻辑
}
// 后记：双指针算法的时间复杂度是O(n)，因为每个指针至多扫描整个序列一次，所以时间复杂度加起来是O(2n)，即O(n)。
最长连续不重复子序列代码：
#include 8-2. 数组元素的目标和
（从暴力解法优化成双指针解法其实就是就是找单调性。）
#include 8-3. 判断子序列：
#include 区间和：
#include