线性代数 --- 矩阵行列式的性质

矩阵行列式的性质

        矩阵的行列式(Determinant)既可以表示成“det A”,也可以用“|A|”来表示。矩阵的行列式是一个数，这个数能够反应一些关于矩阵的信息。行列式只对方阵有效。

若矩阵A为：

则A的行列式为：

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最重要的三个性质

性质1： 单位矩阵的行列式等于1

性质2：行与行之间的交换会改变det的正负号

以2x2单位矩阵为例:

换行后：

        此外，如果进行过多次交换。行交换的次数为偶数，则det的行列式的符号不变。如果为奇数，则仍需改变det的符号。 

性质3(分成两个知识点)：在其他行不变的情况下，对其中一行而言行列式是线性的

3A，如果矩阵中的某一行的每个元素都成一个系数t，则他的行列式也要相应的乘以t。

对左边而言，矩阵的行列式为tad-tbc。对等式右边而言，行列式为t(ad-bc)=tab-tbc，左右相等。 

3B，如果矩阵中的某一行的每个元素都加上一个系数，则新矩阵的行列式等于：

对左边而言，行列式的值为(a+a')d-(b+b')c=ad+a'd-bc-b'c。对等式右边而言，(ad-bc)+(a'd-b'c)=ad+a'd-bc-b'c，左右相等。

        以上三条最最重要的性质对所有nxn矩阵都是适用的，虽然我这里为了方便只拿2x2矩阵矩阵，可自行证明。更重要的是，后面提到的所有性质都是基于这三个性质的，或者说都可以用这三个性质来证明，而无需套用nxn行列式的计算方法去证明。

IMPORTANT！！！：下列所有其他性质的证明都不是用文中最开始提到了2x2矩阵行列式的算式去证明的，而是用前面列出来的三个重要性质以及他们的一些衍生性质证明的（唯独这三个重要性质的证明需要用到2x2矩阵行列式的算式）

性质4：如果矩阵A中有两行相等，则A的行列式为0

证明：

假设矩阵A为上面的矩阵，则对A的相等的两行进行行交换后，A还是A，不变。这就说如果原矩阵A的行列式为D，则对A进行行交换后的行列式还应该是D。但是，按照前面提到的性质2，对矩阵进行奇数次行交换后，行列式的符号要改变。因此，A的行列式因改为-D。但对A进行行交换后还是A，因此，他的行列式应该还是D。等式-D=D只在D=0时才满足，因此，如果A中有两行相当，则A的行列式必为0。

性质5：对矩阵进行高斯消元不会改变矩阵的行列式

换句话就是让矩阵的中的一行减去另一行乘以一个系数后，行列式的值不变：

证明：

        首先根据性质3B，可以把等式的右边改写成两个行列式的和：

然后根据性质3A，可把上式中的系数提到外面去：

最后因为其中有一个矩阵中有两行相等，根据性质4他的行列式为0，最终得到和原矩阵的行列式相等：

        这也就是说，如果对一个矩阵A进行高斯消元后得到U，则A的行列式和U的行列式相等。又因为高斯消元的过程中可能需要进行行交换，则总有：

（配图与本文无关） 

参考文献(鸣谢)：

1，Introduction to Linear Algebra，Fifth Edition - Gilbert Strang

2，麻省理工Gilbert Strang教授线代大师-线性代数（全）_哔哩哔哩_bilibili

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