动态规划（分割等和子集）

416. 分割等和子集

题目难易：中等

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200

示例 1:

输入: [1, 5, 11, 5]
输出: true
解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].
示例 2:

输入: [1, 2, 3, 5]
输出: false
解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.
提示：

1 <= nums.length <= 200
1 <= nums[i] <= 100

思路

这道题目初步看，和如下两题几乎是一样的，大家可以用回溯法，解决如下两题

• 698.划分为k个相等的子集
• 473.火柴拼正方形

这道题目是要找是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

那么只要找到集合里能够出现 sum / 2 的子集总和，就算是可以分割成两个相同元素和子集了。

本题是可以用回溯暴力搜索出所有答案的，但最后超时了，也不想再优化了，放弃回溯，直接上01背包吧。

如果对01背包不够了解，建议仔细看完如下两篇：

动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！(opens new window)
动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）(opens new window)
#01背包问题
背包问题，大家都知道，有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

背包问题有多种背包方式，常见的有：01背包、完全背包、多重背包、分组背包和混合背包等等。

要注意题目描述中商品是不是可以重复放入。

即一个商品如果可以重复多次放入是完全背包，而只能放入一次是01背包，写法还是不一样的。

要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。

回归主题：首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。

那么来一一对应一下本题，看看背包问题如何来解决。

只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。

背包的体积为sum / 2
背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
背包中每一个元素是不可重复放入。
以上分析完，我们就可以套用01背包，来解决这个问题了。

动规五部曲分析如下：

确定dp数组以及下标的含义
01背包中，dp[j] 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]。

本题中每一个元素的数值既是重量，也是价值。

套到本题，dp[j]表示 背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]。

那么如果背包容量为target， dp[target]就是装满 背包之后的重量，所以 当 dp[target] == target 的时候，背包就装满了。

有录友可能想，那还有装不满的时候？

拿输入数组 [1, 5, 11, 5]，举例， dp[7] 只能等于 6，因为 只能放进 1 和 5。

而dp[6] 就可以等于6了，放进1 和 5，那么dp[6] == 6，说明背包装满了。

确定递推公式
01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。

所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

dp数组如何初始化
在01背包，一维dp如何初始化，已经讲过，

从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0。

如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。

这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

本题题目中 只包含正整数的非空数组，所以非0下标的元素初始化为0就可以了。

代码如下：

// 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
// 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
vector dp(10001, 0);
确定遍历顺序
在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中就已经说明：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！

代码如下：

// 开始 01背包

for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
    for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
    }
}

举例推导dp数组
dp[j]的数值一定是小于等于j的。

如果dp[j] == j 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和j，理解这一点很重要。

用例1，输入[1,5,11,5] 为例，如图：

最后dp[11] == 11，说明可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

综上分析完毕，C++代码如下：

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = 0;

        // dp[i]中的i表示背包内总和
        // 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
        // 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
        vector<int> dp(10001, 0);
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            sum += nums[i];
        }
        // 也可以使用库函数一步求和
        // int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        if (sum % 2 == 1) return false;
        int target = sum / 2;

        // 开始 01背包
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        // 集合中的元素正好可以凑成总和target
        if (dp[target] == target) return true;
        return false;
    }
};

python

class Solution:
    def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
        _sum = 0

        # dp[i]中的i表示背包内总和
        # 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
        # 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
        dp = [0] * 10001
        for num in nums:
            _sum += num
        # 也可以使用内置函数一步求和
        # _sum = sum(nums)
        if _sum % 2 == 1:
            return False
        target = _sum // 2

        # 开始 0-1背包
        for num in nums:
            for j in range(target, num - 1, -1):  # 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - num] + num)

        # 集合中的元素正好可以凑成总和target
        if dp[target] == target:
            return True
        return False

(简化版)

class Solution:
    def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
        if sum(nums) % 2 != 0:
            return False
        target = sum(nums) // 2
        dp = [0] * (target + 1)
        for num in nums:
            for j in range(target, num-1, -1):
                dp[j] = max(dp[j], dp[j-num] + num)
        return dp[-1] == target

二维DP版

class Solution:
    def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
        
        total_sum = sum(nums)

        if total_sum % 2 != 0:
            return False

        target_sum = total_sum // 2
        dp = [[False] * (target_sum + 1) for _ in range(len(nums) + 1)]

        # 初始化第一行（空子集可以得到和为0）
        for i in range(len(nums) + 1):
            dp[i][0] = True

        for i in range(1, len(nums) + 1):
            for j in range(1, target_sum + 1):
                if j < nums[i - 1]:
                    # 当前数字大于目标和时，无法使用该数字
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j]
                else:
                    # 当前数字小于等于目标和时，可以选择使用或不使用该数字
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] or dp[i - 1][j - nums[i - 1]]

        return dp[len(nums)][target_sum]

一维DP版

class Solution:
    def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:

        total_sum = sum(nums)

        if total_sum % 2 != 0:
            return False

        target_sum = total_sum // 2
        dp = [False] * (target_sum + 1)
        dp[0] = True

        for num in nums:
            # 从target_sum逆序迭代到num，步长为-1
            for i in range(target_sum, num - 1, -1):
                dp[i] = dp[i] or dp[i - num]
        return dp[target_sum]