【概率论与数理统计】第二章知识点复习与习题

思维导图

笔记

一、随机变量

定义：设随机试验的样本空间为S={e}，X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量。
类似于函数、映射的概念。
既然类似于函数，就有定义域和至于，通过定义知道，定义域为样本空间，值域为实数集。
即对随机事件数量化。

二、离散型随机变量及其分布律

1离散型随机变量

定义：全部可能取到的值是有限个或可列无限多个的随机变量。
这里有限一定可列，可列不一定有限。
而分布律的定义则是指：X取各个可能值的概率情况。

2分布律

教材中提及的离散型随机变量的分布律有三种，分别为0-1分布，二项分布以及泊松分布

0-1分布

即两点分布，随机变量X只可能取0和1两个值。分布律表达式为
K=0,1
(0

伯努利试验、二项分布

和0，1分布类似。
伯努利试验：设实验E只有两个可能结果，A与非A。
设

将E独立重复进行n次，即为n重伯努利试验。
这里的独立重复和第一章的一样。

二项分布

以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，X的所有取值为k，根据这个可以得到

称X服从参数为n，p的二项分布，记为X~b（n，p）
特别地，当n取1时，记为0-1分布。

泊松分布

设随机变量X所有可能取值为0，1，2，…，而取各个值的概率
之中λ>0是常数，称X服从参数为λ的泊松分布，记为
X~Π（λ）
泊松分布可以用来逼近二项分布，因为二项分布虽然规律性很强，也有比较好的准确性，但是计算的复杂度太高，所以往往会使用泊松分布来逼近。

泊松定理：

设λ是一个常数，n是任意正整数，设
则对于任一固定的非负整数k，有

三 、随机变量的分布函数

分布函数的提出是因为在某些情况下，随机变量取实数域上的一点的概率是困难且无意义的，这里点名连续型随机变量，因此改为选取区间的概率。区间一般以左开右闭的形式。

定义

设X是一个随机变量，x是任意实数，函数
称为X的分布函数
而对于任意实数x1，x2（x1

所以，如果已知X的分布函数，就可以知道X落在任意区间上的概率，这种由点到区间的进步，也更加方便我们研究概率，同时也更完整地描述随机变量的统计规律性。

基本性质：

分布函数F(X)具有以下性质
1、他是一个不减函数，即，对于任意实数 x1, x2 (x1 < x2) 有

2、
3、
简单概括就是单调不减，累积非负，右连续。
所以结合定义和性质可知：分布函数其实是一种累积概率，有点类似于算法中的前缀和。

离散型

一般，设离散型随机变量X的分布律为

由概率的可列可加性，得

对于离散型，分布函数作为一个累积函数，会存在跳跃，不难发现：跳跃值为该点的概率值

连续型

设f（x)为随机变量的概率密度，有

四、连续型随机变量及其概率密度

定义

对于随机变量X的分布函数F(X)，存在非负可积函数f（x)，使对于任意实数x有
称X为连续型随机变量，f（x)为X的概率密度函数，简称概率密度。
如果原函数即分布函数连续，则概率密度函数也连续。

概率密度的性质

1、非负性
2、
（前两个条件是概率密度的充分必要条件）
3、

三种常见的连续型随机变量

主要用他们的概率密度来描述。

1.均匀分布

定义

记作X~U（a，b）
在a~b的区间上，随机变量落在任一点的概率是等同的，概率只与子区间的长度有关，与子区间的位置无关。

分布函数

2.指数分布

定义

分布函数

性质

任意s，t>0，有

这种性质称为无记忆性。
指数分布在可靠性理论与排队理论中有广泛的应用。

3.正态分布

的正态分布或高斯分布，记为

性质

f（x)的曲线具有以下性质：
1.曲线关于μ对称。

2.当x=μ时取到最大值

x 离 μ越远，f（x）的值越小。这表明对于同样长度的区间，当区间离μ越远时，X落在这个区间上的概率越小。
特别地，当μ = 0时，σ=1时 称随机变量 X 服从 标准正态分布。其概率函数和概率密度函数分别用 φ（x）和 Φ（x）表示。

五、随机变量的函数的分布

关于连续型随机变量的函数有以下定理
设随机变量x具有概率密度
fx（X)
又设函数 g(x) 处处可导且恒有 g’(x) > 0 (或恒有 g’(x) < 0), 则 Y=g(X) 是连续随机变量，概率密度为：

其中 α = min{g(-∞)， g(∞)}，β = max{g(-∞)， g(∞)}，h(y) 是 g(x) 的反函数。

课后习题

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