图论中的树

树的性质与遍历

树者，千载之长存也。

树的性质与遍历树的性质：树的遍历：

树的性质：

• 无向连通性

树是一个无向连通图，也就是说，任意两个节点之间存在唯一的路径。

• 无回路

树不包含任何回路或环，也就是说，不存在任何节点能够经过若干条边回到自身。

• N-1条边

一个树由 N 个节点组成，其中有 N-1 条边连接这些节点。

• 唯一路径

在树中，任意两个节点之间存在唯一的路径，也就是说，从树的根节点出发，可以通过唯一的路径到达任意一个节点。

• 无向无权图

树是一种无向无权图，即每条边没有权重或距离的概念。

• 最小连通子图

对于给定的连通图，如果删除任意一条边，都会使得图不再连通，那么这个连通图就是一棵树。换句话说，树是最小连通子图。

树的遍历：

• 深度优先遍历

搜索路径、连通性等问题

板子：

using namespace std;
const int N = 1e5 + 7;
vector v[N];
bool use[N];
int n, d,ans = 0;
void dfs(int pos, int val) {
    if (val == d) return;
    
    use[pos] = 1;
    
    for (int i = 0; i < v[pos].size(); i++) 
        if (use[v[pos][i]] == 0) {
            use[v[pos][i]] = 1;
            dfs(v[pos][i], val + 1);
            ans++;
        }
    
}
​
int main() {
    cin >> n>>d;
    int begin, to;
    
    for (int i = 1; i <= n-1; i++) {
        cin >> begin >> to;
        v[begin].push_back(to);
        v[to].push_back(begin);
    }
    
    dfs(1, 0);
    cout << ans;
}

• 广度优先遍历

寻找最短路径、层级分析等问题

板子（注意，只是普通广搜，若要涉及最短路，则在后面章节）

using namespace std;
const int N = 1e5 + 7;
vector v[N];
bool use[N];
int n, d;
int main() {
    cin >> n>>d;
    int begin, to;
    
    for (int i = 1; i <= n-1; i++) {
        
        cin >> begin >> to;
        v[begin].push_back(to);
        v[to].push_back(begin);
        
    }
    
    queue q;
    q.push(1);
    use[1] = 1;
​
    while (!q.empty()) {
​
        int now = q.front();
        q.pop();
​
        for (int i = 0; i < v[now].size(); i++) {
            if (use[v[now][i]] == 0) {
                q.push(v[now][i]);
            }
            use[v[now][i]] = 1;
        }
​
    }
}

注意事项：

1. 注意题给信息决定是否要建立反向边

2. 对于无向图，要注意开标记数组

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树的直径与重心

“万木悉自寒，孤松独秀时。重心在地底，直径正天涯。”——白居易

树的直径与重心树的直径：定义求法注意树的重心定义性质求法换根DP求重心代码：

树的直径：

定义

树的直径是指树中最长路径的长度。也可以理解为在树中任选两个节点，它们之间的最长路径的长度即为树的直径。

求法

首先从任意节点开始进行一次深度优先搜索，找到距离该节点最远的节点A。然后从节点A开始进行第二次深度优先搜索，找到最远的节点B，那么节点A和节点B之间的路径长度就是树的直径。

注意

一棵给定的树中，直径的长度是一定的，但直径的路径是不一定的

树的重心

定义

将树中的某一结点删除，这棵树将散架，分成若干棵子树，设其中最大的一棵树结点数量为 N。以此类推，遍历每一个结点，找到最小的N，此时删除的结点就是重心

性质

• 树的重心如果不唯一，则至多有两个，且这两个重心相邻。

• 以树的重心为根时，所有子树的大小都不超过整棵树大小的一半。

• 树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么到它们的距离和一样。

• 把两棵树通过一条边相连得到一棵新的树，那么新的树的重心在连接原来两棵树的重心的路径上。

• 在一棵树上添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。

求法

比较常见的求法是换根dp。

这种求法不是通过重心的定义来求解，而是通过重心的一个性质，

也就是树中所有的点到重心的距离之和最小

怎么实现的？

我们假设

n为所有结点的个数

Sum_distance[i]表示树上所有的点到i的的距离之和。

Size[i]表示以i根的子树的大小。

对树上的任意一个非根结点x，设其父结点为y，有转移方程Sum_distance[x]=Sum_distance[y] + (n-Size[x]) - Size[x]

解释一下：

我们的状态转移是从根节点开始，慢慢向下转移。

所以对于x的父结点y ，其状态已经被计算过了。

我们现在要往下移动一个单位到其儿子x，那么对于x的子树部分的任意一个结点，其到 x的距离就等于其到 y的距离-1，总共减少的距离是Size[x]

对于非x的子树部分的任意一个结点，其到x的距离就等于其到y的距离+1，总共增加的距离是n-Size[x]

那么，很显然，需要改变的距离是能计算出来的。

也就是(n-Size[x]) - Size[x]

化简后的式子就是：Sum_distance[x]=Sum_distance[y] + n - 2*Size[x]

换根DP求重心代码：

1、先求出每个结点子树大小

void get_size(int now,int fa) { // fa指的是当前这个点的父结点
​
​
    Size[now] = 1;//now结点的子树大小初始化为1
​
    for (int i = 0; i < v[now].size(); i++) {
        if (v[now][i] != fa) { //不能回头搜索
            get_size(v[now][i], now);
            Size[now] += Size[v[now][i]]; 
        }
    }
    
    
}

2、求出树中所有的点到根节点的距离之和

ps:即求每个点的深度之和

int get_d1(int now,int fa,int depth) {
    int ans = 0;
​
    for (int i = 0; i < v[now].size(); i++) 
        if (v[now][i] != fa)        
            ans+=get_d1(v[now][i],now,depth+1)+depth;
    
    return ans;
}

3、换根DP过程

ps:use[i]是标记数组，用来记录这个点是否被搜过

void get_alld(int now, int fa) {
    use[now] = 1;
    
    for (int i = 0; i < v[now].size(); i++) {
        if (son != fa and use[son] == 0) {
            d[v[now][i]] = d[now] + Size[1] - 2 * Size[v[now][i]];
            get_alld(v[now][i], fa);
        }   
    }
    
}