杭州电子科技大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试《数字信号处理》试题第四题

Question：

        图 2(a) 给出了一种多径通信信道的简单模型，假设是带限的，，，对用采样周期采样得到序列

        1. 求的傅里叶变换和的傅里叶变换（利用表示）；

        2. 现在要用一个离散时间系统来仿真该多径系统，选择该离散时间系统的，使得当输入为，输出为，如图 2(b) 所示。求利用的表示的。

图 2(a)

图2 (b)

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Answer：

第一问：

        给定带限信号的最高频率，故以采样周期采样不发生频谱混叠。

        由图 2(a) ，，应用傅里叶变换的线性性质和时移性质可得

        进而得到采样信号的傅里叶变换如下（时域采样对应频域周期延拓，并且幅值乘以采样频率）

        相应的序列的傅里叶变换如下（将横轴从模拟频率“归一化”到数字频率，保证对齐）

第二问：

        由第一问分析不难得到序列和序列的傅里叶变换为

        则所求的离散时间系统的系统函数为（大家较为熟悉的形式为）

分子、分母均以为周期，故考虑主周期区间上的，即取上式分子、分母中的

其中为主周期区间指示函数（换成“矩形窗”名字就熟悉了）

将主周期区间上的以为周期进行延拓即为所求

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后言：

        本题来自唐向宏编著的《数字信号处理（第2版）学习指导与题解》，具体为第222页第7题，书中答案较为简短，故笔者编写了上述更详细的答案。综合考察了1.采样得到的离散序列的傅里叶变换与原信号的之间的关系；2.傅里叶变换的线性、时移性质；3.时域离散对应频域周期；4.系统输出是输入与系统函数在频域相乘（对应输入与系统单位冲激响应在时域卷积）等知识点，具有一定难度。