【UnityShader入门精要学习笔记】第四章（2）点和向量

本系列为作者学习UnityShader入门精要而作的笔记，内容将包括：

• 书本中句子照抄 + 个人批注
• 项目源码
• 一堆新手会犯的错误
• 潜在的太监断更，有始无终

总之适用于同样开始学习Shader的同学们进行有取舍的参考。

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（该系列笔记中大多数都会复习前文的知识，特别是前文知识非常重要的时候，这是为了巩固记忆，诸位可以直接通过目录跳转）

复习

知识点复习

上节我们学习了笛卡尔坐标系（正交坐标系）。笛卡尔坐标系中包含了以下要素：

• 原点，它是整个坐标系的中心，我们以0坐标代表该点
• n维笛卡尔坐标系中的n个轴都是两两正交的，例如三维笛卡尔坐标系中xy，xz，yz都互相垂直。

我们以每条轴箭头指向的方向为正方向，反向为负方向。以正方向上的单位长度称为基向量（ 或者基底 ，或者标准正交基）。

（在三维软件中，我们喜欢以红色直线代表x轴，绿色直线代表y轴，蓝色直线代表z轴）

左右手坐标系

在三维坐标系中，有两种不同的坐标系——左手坐标系和右手坐标系，判断坐标系是哪种的方法就是如上图所示，伸出左手（右手），大拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，中指指向z轴正方向，如果其中任意两轴方向对齐，而另一条轴方向相反，证明不是当前手的坐标系。

如果两个坐标系都是左手(右手）坐标系的话，那么这两个坐标系经过一系列旋转一定是可以重合的，这种性质被我们称为旋向性 。

在左手坐标系中，判断旋转正方向的方法是左手法则（右手坐标系中则是右手法则）。判断方法是，手虚握坐标轴，大拇指指向正方向，四指弯曲方向就是旋转正方向。

我们之所以要引入坐标系，其根本目的就是为了在空间中描述某个点的位置。而在Unity等等三维软件中，我们固定了一个唯一的初始坐标，才能够统一的描述这个三维软件的空间内的所有物体。

Unity中的坐标系

Unity中，对于模型空间和世界空间，Unity使用的是左手坐标系。

而对于观察空间来说，Unity使用的是右手坐标系。简单来说就是以摄像机为原点的坐标系，再这个坐标系中，摄像机的镜头方向是z轴的负方向（也就是z轴的正方向实际上是从屏幕指向屏幕前的你），这与模型空间和世界空间中的定义相反，z轴的减少意味着场景深度的增加。

上章节练习题答案

1. 伸出左手，大拇指指向右方，食指指向前方，发现中指指向下方，和题中坐标系不重合，证明该坐标系是右手坐标系。
2. 如下图所示：
   
   左边是一个左手坐标系，右边是一个右手坐标系，我们先找到对应的（0，0，1）点，然后按题目要求绕y轴旋转。其中左手坐标系的旋转方向用左手法则发现正方向是绕y轴顺时针，右手坐标系的旋转方向则用右手法则发现正方向是绕y轴逆时针。因此进行相应旋转，旋转90°后点落在x轴上。二者答案都为（1，0，0）。

在上图中画出的两个坐标系，虽然点的坐标是相同的，但如果将两坐标系原点重合（置于同一空间下），并用左手坐标系来统一描述两点的坐标（忽略右手坐标系的z轴）。那么点1坐标为（1，0，0），点2坐标则为（-1，0，0），如下图4.51所示：

（上图4.50虽然两点重合在了同一坐标，但两个坐标系并不在同一空间，因为z轴的正方向不一致）

3. 如图所示：
   
   小球相对于摄像机的深度值为10，而根据视锥方向可知，小球目前在摄像机的镜头前向，而该方向实际上是观察空间的z轴的反方向（从屏幕到屏幕前的人的方向为正方向），因此小球在观察空间的坐标应为（0，1，-10），z值为-10。
   而在以摄像机为坐标建立的模型空间下，由于模型空间是左手坐标系，因此用左手对准上图中的x，y轴，发现两个坐标系重合（当然了，因为unity中的坐标系就是左手坐标系嘛），因此确定小球在摄像机的模型空间下的坐标为（0，0，10），因此z值为10。

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点和向量

定义

点（point） 是n维空间中的一个位置，它没有大小，宽度这些概念。一个空间是由无数的点构成的，我们可以用任意点的坐标描述物体在该空间中的位置。在二维，三维笛卡尔坐标系中，我们用实数来表示点的坐标，例如$P=(P_x,P_y)$，$P=(P_x,P_y,P_z)$

向量（vector，或者矢量，但我建议还是叫做向量）。几何定义上讲，向量是n维空间中包含了模长（magnitude） 和方向（direction） 的有向线段 。向量与标量（scalar） 要作区分：标量只有模长，没有方向。

对于向量的表示，我们可以使用$\mathbf{v}=(a,b)$来表示【实际上我更喜欢用数学的方式$v=(a,b)$来表示，用箭头更能表示它是有方向的】

其中，a，b代表了其在对应的轴方向上的长度（以坐标系的基向量为单位长度）。

与书中有所不同，接下来我会用小写字母$a，b，x，y，z$表示标量
用带箭头的字母$v,a,b$ 表示向量
用大写字母$A，B，C，D$等表示矩阵

如上图所示，一个向量通常由一个箭头表示，我们以箭头方向称为向量的头，另一端称为向量的尾。在坐标系（线性代数）中，以原点为尾，指向的坐标点为头。

（注意，此处我不建议大家看书中原作者对向量的解释，原作者的解释大多是从物理角度出发，但是学习线性代数，我们需要从数学的视角，从数字上和几何上理解向量，因此我依然推荐大家去看b3b1的线性代数的本质 - 01 - 向量究竟是什么？）

原作者说向量可以表示相对于某个点的偏移，因此可以在空间中移动。但是线性代数中不要随便移动一个向量，向量一定以原点为尾，指向的坐标点为头。因为$v=(a,b)$向量是以原点为起点，坐标系的基底为单位长度来描述该向量相对于原点的偏移，因此我们不能随意改变它在坐标系中的位置。

只有在进行向量计算的时候，我们才允许向量移动，将一个向量的头部或尾部对齐到其他向量的头部上。但是最终结果得到的向量，依然是原点为尾，指向的坐标点为头的向量

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点和向量的区别

还是看上图，如果我们把点和向量放在同一个坐标系下，我们会发现二者虽然数学上的表示方式一样，但是在空间上，向量是从原点出发，指向目标点的。也就是说任何一个点都可以由一个向量表示。

那么点和向量区别在哪呢？虽然二者都可以用（x，y）来表示，但是注意，向量之所以用这种方式来表示，是因为我们默认它的尾部为原点。实际上应该是(x-0,y-0)。向量的表示实际是两个点之间坐标的差值（顶部点减去尾部点）。

如果我们用矩阵的方式来表示向量：例如$v=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$。那么实际上表示的是$v=\left[\begin{array}{c}x\hat{i}\\ y\hat{j}\end{array}\right]$。$(\hat{i},\hat{j})$就是当前向量的基向量，对应在这个笛卡尔坐标系下就是x正向上的单位长度，和y正向上的单位长度。

那么如果我们任意改变x和y的值？这样的话，其实意味着对基向量的任意拉伸组合，最终我们可以得到的向量将遍布整个二维空间，我们将其称为基向量所组成的张成空间（span space） 。

如果用向量来遍布整个空间，实在太过拥挤，最终我们会用向量的终点来表示这个向量，因此，向量就表示为了点。

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去看线性代数的本质！

好吧，看书中的这些文字其实不如去复习一遍线性代数的本质，接下来部分参考价值不大的内容我就省略过了。

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向量运算

向量加减

假设有向量a和向量b，则：
$$\begin{gathered} a+b=(a_x+b_x,a_y+b_y) \\ a-b=(a_x-b_x,a_y-b_y) \end{gathered}$$

几何上看，向量相加减，则可以用向量计算的三角形法则得出结果向量。矩阵上来看，以左图向量相加为例，我们将b向量移动到对应原点位置成$b^{\prime }$。然后将$a和b^{\prime }$在xy轴上的分量进行相加，发现最终结果和三角形法则画出的是一模一样的。

向量乘除

我们可以用一个标量来对向量进行乘除：

$$\begin{gathered} kv=(kx,ky,kz) \\ v/k=(\frac{x}{k},\frac{y}{k},\frac{z}{k}) \end{gathered}$$

还记得标量的英文吗？Scaler ，我认为很形象，如果在几何上看，其实最终结果就是对一个向量进行缩放（拉伸），缩放的英文不就是Scale吗。（上图对于向量的拉伸不太准确，应当保持起点不变，终点拉伸到对应坐标）

向量模长

模长公式：
$|v|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

简单的计算，因为几何上直观来看就是运用了勾股定理。

归一化

想起学习线代时的痛点之一施密特正交化，根据线性无关的向量组构造一个标准正交化向量组。反正怎么正交化已经忘了，但是如何归一化还是记得的。

给定任意非零向量$v$，将其归一化为模长为1的单位向量，归一化公式为：
$\hat{v}=\frac{v}{|v|}$ ,即该向量除以其模长

归一化的单位向量模长为1，因此所有归一化向量可以构成一个单位圆。其落点都在单位圆的圆周上。

在后文章节中，我们将会不断遇到法线方向，光源方向这些概念。由于我们的计算要求往往需要对应的向量是单位向量，因此使用前应当将向量先归一化。

向量的点积

向量的点积公式如下：
$a\cdot b=(a_x,a_y,a_z)\cdot (b_x,b_y,b_z)=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$

点积满足交换律，即：
$a\cdot b=b\cdot a$

点积其实本质上计算的是投影与向量的乘积。对于$v\cdot w$而言，其计算结果实质上是 $w$的投影长度 乘以 $|v|$

什么是投影？假设有一道光源垂直于向量a所在的直线，那么b在a方向上的影子，就是b向量首尾两点作垂直，最后在a方向直线上的连线，这个线段被我们称之为投影。

根据两个向量之间的夹角，点积的符号也不同，若夹角小于90°则结果>0，若等于90°则=0，若大于90°则<0

(推荐视频：07点积与对偶性，解释了为什么点积的公式在几何上的表现是这样的。简单来说，$\left[\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{w}_x\\ w_y\end{array}\right]$实质上与矩阵乘法$\left[\begin{array}{c}{v}_x{v}_y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{w}_x\\ w_y\end{array}\right]$相等，而后者计算结果实际上是将二维矩阵w应用线性变换v使其降维到了一维空间，这个一维空间就是我们用于投影的数轴，降维后的结果就是投影，所以向量点积本质上就是一个将矩阵从二维变换到一维的线性变换。）

从三角函数上看，点积公式还可以表示为下列形式：
$a\cdot b=|a||b|cos\theta$
(其实还是投影乘以模长，投影是$|b|cos\theta$，模长是$|a|$)

投影还有一些其他的性质：
$(ka)\cdot b=a\cdot (kb)=k(a\cdot b)——结合律$
$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c——分配律$
$v\cdot v=v_x^2+v_y^2+v_z^2=|v{|}^2$

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向量叉乘

另一个重要的运算是向量的叉乘(cross product) ,也称为外积(outer product) 。

叉乘的公式是：
$a\times b=（a_x,a_y,a_z)\times （b_x,b_y,b_z)=(a_y{b}_z-a_z{b}_y,a_z{b}_x-a_x{b}_z,a_x{b}_y-a_y{b}_x)$
看起来好复杂好难记，为什么是这样的？
如果用线性代数来表示的话就清晰了：

纠正一下上式子，虽然结果正确，但是没写对$\tau$的计算。记该矩阵为X

$det(X)=a_{1,1}{A}_{1,1}+a_{1,2}{A}_{1,2}+a_{1,3}{A}_{1,3}=\hat{i}\ast (-1{)}^{1+1}(v_2{w}_3-v_3{w}_2)+\hat{j}\ast (-1{)}^{1+2}(v_1{w}_3-v_3{w}_1)+\hat{k}\ast (-1{)}^{1+3}(v_1{w}_2-v_2{w}_1)$

实际上叉乘就是加上一列基向量构成一个新矩阵，并计算该矩阵的行列式。

（为什么要这样，别问我，以线性代数的眼光看叉乘)

记住一个简单的结论就是，两个向量叉乘，最终会得到一个新向量，这个新向量的长度是$v,w$向量构成的平行四边形的面积，而新向量的方向，由原坐标系指定，且垂直于这个平行四边形。如果你使用右手坐标系，就举起右手，反之使用左手，使得任意两根手指与$v,w$对齐，剩下那根的方向就是新向量的方向。

这个叉乘出来的向量的模长由于和平行四边形面积一致，所以我们也可以得到叉乘向量的模长公式：
$|a\times b|=|a||b|sin\theta$ (平行四边形面积=底 * 高)

叉乘是无法交换的，$a\times b=-(b\times a)$。

从几何意义上去理解点乘和叉乘，就会发现其中奥妙所在，为什么点乘可以交换，而叉乘无法交换：

因为点乘实质上是二维降维成一维，无论二维一维，它们都满足我们之前说的旋向性（handedness），因此可以交换。

而叉乘的三个向量建立了一个非正交的左右手三维坐标系（由原坐标系为左手还是右手指定），如果交换叉乘顺序，则产生的新向量的方向是相反的，就变成了另一只手对应的坐标系，所以结果需要加个负号。

叉乘也不满足结合律：$(a\times b)\times c\ne a\times (b\times c)$

叉乘最常见的应用就是计算垂直于一个平面、三角形的向量，还可以用于判断三角面片的朝向。

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练习题

1. 判断题
   （1）一个向量的大小不重要，只需要在正确的位置把它画出来即可
   （2）点可以被认为是位置向量，这是通过把向量的尾部固定在原点得到的
   （3）选择左手坐标系还是右手坐标系很重要，这会影响到叉乘的计算

2.计算题：
（1）$|(2,7,3)|$
（2）$2.5(5,4,10)$
（3）$\frac{(3,4)}{2}$
（4）$对(5,12)进行归一化$
（5）$对(1,1,1)进行归一化$
（6）$(7,4)+(3,5)$
（7）$(9,4,13)-(15,3,11)$

3.假设场景中有一光源位于$(10,13,11)$处，还有一个点位于$(2,1,1)$，请问光源到点的距离是？

4.计算下列运算：
（1）$(4,7)\cdot (3,9)$
（2）$(2,5,6)\cdot (3,1,2)-10$
（3）$0.5(-3,4)\cdot (-2,5)$
（4）$(3,-1,2)\times (-5,4,1)$
（5）$(-5,4,1)\times (3,-1,2)$

5.已知向量a和向量b，a的模长为4，b的模长为6，它们间的夹角为60°，求计算：
（$sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866,cos60°=\frac{1}{2}=0.5）$
（1） $a\cdot b$
（2） $|a\times b|$

6.假设，场景中有一个NPC，它位于点$p$处，它的前方用向量$v$表示。
（1）假设现在玩家移动到了点$x$处，那么如何判断玩家在NPC的前方还是后方？使用上述学习的知识来描述。
（2）使用（1）中的描述方法，代入点$p=(4,2),v=(-3,4),x=(10,6)$来验证答案
（3）现在，NPC只能观察到有限的视角范围，其视角角度为$\varphi$,也就是视野在前方左侧$\frac{\varphi }{2}$到前方右侧$\frac{\varphi }{2}$。那么我们如何通过点积来判断NPC是否可以看到点$x$？
（4）在（3）的基础上，我们又要求NPC只能看见固定距离内的对象，如何判断？

7.在渲染中我们时常会需要判断一个三角面片是正面还是背面，这可以通过判断三角形的3个顶点在当前空间中是顺时针还是逆时针排序来得到。给定三角形的三个顶点$p_1$、$p_2$、$p_3$，假设我们使用的是左手坐标系，且$p_1$、$p_2$、$p_3$都位于xy平面上（即它们的z分量都为0），且人眼位于z轴的负方向上，向z轴正方形观察，如图所示：

请问如何判断这三个顶点的顺序是顺时针还是逆时针？