蓝桥杯2021年第十二届国赛真题-二进制问题

题目描述

小蓝最近在学习二进制。他想知道 $1$ 到 $N$ 中有多少个数满足其二进制表示中恰好有 $K$ 个 $1$。你能帮助他吗？

输入格式

输入一行包含两个整数 $N$ 和 $K$。

输出格式

输出一个整数表示答案。

输入样例

7 2

输出样例

3

数据范围

对于 $30\%$ 的评测用例，$1\le N\le 10^6$, $1\le K\le 10$。
对于 $60\%$ 的评测用例，$1\le N\le 2\times 10^9$, $1\le K\le 30$。
对于所有评测用例，$1\le N\le 10^{18}$, $1\le K\le 50$。

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算法1(数位DP)

非常明显这道题目是典型的数位DP的题目，题干说到在某个区间，求满足某种条件的数的个数，即这道题可以用数位DP过掉，再分析一下时间复杂度，其数据范围在$10^{18}$上，从这里可以推断出时间复杂度大概率应该控制在$O(log(n))$，此时数位DP正好可以将此题AC掉！还需注意的一点是此题会爆int，应该用long long。

首先分析一下此题的数位DP的逻辑，如下图所示：
设一个数有 $n$ 位，数 $N=a_n{a}_{n-1}{a}_{n-2}......a_1{a}_0$，需要选出 $K$ 个 $1$。

先预处理一下组合数，根据递推式：
$C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$

void init()
{
    for (int i = 0; i < N; i ++ )
        for (int j = 0; j <= i; j ++ ) 
            if (!j) f[i][j] = 1;
            else f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1];
}

然后每一位的值以二进制的形式存入容器vector中：

	vector<int> nums;
    while (n) nums.push_back(n % 2), n /= 2;

利用一个res和last来分别记录答案和已经消耗 $1$ 的数量。

	LL res = 0;
    int last = 0;

设每一位的值为 $x$。
对于 $x$ 来讲，只有当 $x=1$ 的时候才有意义，举个例子：
对于一个 $011101111$ 这个数当首位填 $1$ 的时候，就会比这个数字要大了。不符合题意，故只有在 $x=1$时，我们才会分填1或填0。
具体看如下代码：

LL dp(LL n)
{
    vector<int> nums;
    
    while (n) nums.push_back(n % 2), n /= 2;
    
    LL res = 0;
    int last = 0;
    
    for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i -- ) 
    {
        int x = nums[i];
        
        if (x)
        {
            /*当第i位选0时*/
            res += f[i][K - last];
            /*当第i位选1时*/
            if (x == 1)
            {
                last ++ ;
                /*如果已经消耗1的数量大于规定的数量时,结束算法*/
                if (last > K) break;
            }
        }
        /*当为最后一位时,如果所消耗1的数量恰好等于规定数量时,即最后一位符合要求*/
        if (!i && last == K) res ++ ;
    }
    
    return res;
}

完整代码

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 60;

LL r, K;
LL f[N][N];

void init()
{
    for (int i = 0; i < N; i ++ )
        for (int j = 0; j <= i; j ++ ) 
            if (!j) f[i][j] = 1;
            else f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1];
}

LL dp(LL n)
{
    vector<int> nums;
    
    while (n) nums.push_back(n % 2), n /= 2;
    
    LL res = 0;
    int last = 0;
    
    for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i -- ) 
    {
        int x = nums[i];
        
        if (x)
        {
            /*当第i位选0时*/
            res += f[i][K - last];
            /*当第i位选1时*/
            if (x == 1)
            {
                last ++ ;
                /*如果已经消耗1的数量大于规定的数量时,结束算法*/
                if (last > K) break;
            }
        }
        /*当为最后一位时,如果所消耗1的数量恰好等于规定数量时,即最后一位符合要求*/
        if (!i && last == K) res ++ ;
    }
    
    return res;
}

int main()
{
    cin >> r >> K;
    
    init();
    
    cout << dp(r);
    
    return 0;
}