最大熵和概率分布

概率论

我们需要描述一组数据时候，本质上需要描述每一个点。但是如果我们可以用分布去表示这些数据，就只需要均值或者方差分布参数，大大节省了存储空间。

离散型随机分布

伯努利分布：一次实验，结果只有两种结果。 ，期望：，方差：

二项分布：n次伯努利实验正好得到k次成功的概率，单次成功的概率为p。当n=1的时候退化到伯努利分布。当p=0.5的时候，整体上和正态分布图形类似。，期望：，方差：

几何分布：进行n次伯努利实验，在获取成功前需要进行多少次实验。分布图形是越往前概率越大，, 期望, 方差是

泊松分布：单位时间内独立事件发生次数的概率分布，它是二项分布n很大而p很小时的极限。泊松分布可以把单位时间切成n次，每次成功的概率为p，那么单位时间内出现k次的概率就是二项分布，所以泊松分布是二项分布的一种极限形式。它的分布图形也和二项分布类似，特别是n很大而p很小时。, 期望和方差都是,其中k是发生的次数，是发生的平均次数，当时，泊松分布趋向于正态分布。

指数分布：对应于泊松分布，指数分布是指两次独立事件发生的时间间隔的概率分布。
，其中是指单位时间内独立事件发生的次数。期望=，方差=

负二项分布：在一连串伯努利实验中，恰好在第r+k次实验出现第r次成功的概率。换句话说，是指出现第r次成功时所需要的总实验次数的概率分布。
，期望, 方差

多项分布：二项分布的扩展。

连续型随机分布

均匀分布：，期望， 方差

正态分布：，期望，方差。

指数分布：可以扩展到连续随机变量，仍然代表两次独立事件发生的事件间隔（实数）。公式和上面一致。

最大熵

那么以上的概率分布是如何来的呢？最大熵理论提供了一种解释的方法，概率分布是满足一定约束条件下的最大熵概率分布。对于一个随机变量来说，如果没有任何约束，我们大概率倾向于该随机变量符合均匀分布。对应到现实中，如果没有任何前提条件，我们认为事件发生的概率是相同的。比如骰子，我们会默认每一面的概率是1/6。最大熵概率分布满足一下条件：

其中ai是预先定好的约束条件，比如均值、方差。 使用拉格朗日乘子得到：

其中都为正数，解为：

假设y值固定在某个确定的值，对p求偏导：

等式两边乘以ln2，对logp进行换底：

得到解p*：

伯努利分布推导

约束条件：

其中代表事件成功的概率，也是伯努利分布的期望值，得到
同时：
由以上两式得到：
综合以上：, 我们就得到了伯努利分布的公式，伯努利分布是在约束期望值下的最大熵概率分布。

正态分布推导

约束条件：均值和方差

其他分布的约束条件

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其他概念

概率分布函数，条件概率，联合概率， 独立分布，条件独立，熵， 交
叉熵、条件熵、KL散度