通过一个视频,10分钟一遍学会LL(1)的First集和Follow集

写这篇博客的原因,是因为考试前以为自己已经将这个问题弄清楚了,但是,考试的时候,发现自己还是不会,特别是求follow集合。虽然考试结束了,希望可以帮助屏幕前的你,可以真正理解这个问题。

码字和做视频都不容易,可以给个三连吗?嗷呜~

2020-09-12更新第一版

2021-04-13更新第二版

2021-06-22更新第三版

讲解视频

博客对应的视频教程地址(一定要看看):https://www.bilibili.com/video/BV17K4y1a72M#reply4409274160

视频中的一些问题

下面列举的问题可以先不看,等到视频看完,再拉到对应的时间点看视频中小小的错误

视频的05:12 剪辑视频的时候写错了,正确的应该是First(β) 
视频的07:11 忘记计算First(T)和Follow(T),笔记中补了
视频的09:09 利用规则2或3两边可以是一样的非终结符
视频的12:03 First(E')和First(T')应该用逗号分隔

通过一个视频,10分钟一遍学会LL(1)的First集和Follow集_第1张图片


通过一个视频,10分钟一遍学会LL(1)的First集和Follow集_第2张图片


通过一个视频,10分钟一遍学会LL(1)的First集和Follow集_第3张图片
通过一个视频,10分钟一遍学会LL(1)的First集和Follow集_第4张图片

First集

官方定义

设G=(VT,VN,S,P)是上下文无关文法 ,则

image-20200911080521074

理解定义

不求信达雅,但求“说人话”。官方定义看不懂?下面的描述比较通俗易懂。

FIRST(A)是以A的开始符的集合,A的所有可能推导的开头终结符或者是ε

例子

通过例子来加强理解。

  1. 后面跟的不是非终结符
...
A->aB|ε
A->c
...
First(A)={a,ε,c}
  1. 后面跟非终结符(一)
...
A->Ba
B->b
...
First(A)={b}
  1. 后面跟非终结符(二)
...
A->Bc
B->b|ε
...
First(A)={b,c}
  1. 后面跟非终结符(三)
...
A->BC
B->b|ε
C->c|ε
...
First(A)={b,c,ε}

Follow集

相对于First集,Follow集的理解会稍微难一点,但是认真听,还是简单的。

官方定义

这个是信达雅版本的定义

假定S是文法G的开始符号,对于G的任何非终结符A,我们定义

image-20200911080541959

理解定义

这个是“说人话”版本的定义

Follow(A)为非终结符A后跟符号的集合,Follow(A)是所有句型中出现在紧接A之后的终结符或’#’

求解规则

(1)对于文法的开始符号S,置#于Follow(S)中;

(2)若A->αBβ是一个产生式,则把First(β) \ {ε} 加入到Follow(B)中

(3)若A->αB是一个产生式,或A->αBβ是一个产生式且β=>ε,则把Follow(A)加入到Follow(B)中

理解求解规则

(1)对于开始符号,首先将#放入Follow集中

(2)形如A->αBβ

(α可以是终结符或者非终结符或者直接为空,β可以是终结符或者非终结符,
注意β不能为空,B后面要有东西
注意β不能为空,B后面要有东西
注意β不能为空,B后面要有东西

比如

A->aBC
A->aBd
A->BC
A->Bd

将First(β) \ {ε}(即First(β)除去ε) 加入到Follow(B)中

(3)形如A->αB(α可以是终结符或者非终结符或者直接为空)或者A->αBβ是一个产生式且β=>ε

比如

A->B
A->cB

A->dBC
C->ε

将Follow(A)加入到Follow(B)中

综合例子

让我们通过例子来对上面的知识点进行梳理和再次的理解。

综合例子一

注意:[if] 是一个终结符,同理[b] [other] [else] [then]

G(S):S->IETSP|O
I->if
E->b
O->other
L->else
T->then
P->LS|ε
First Follow
First(S)={if,other} Follow(S)={#,else}
First(I)={if} Follow(I)={b}
First(E)={b} Follow(E)={then}
First(O)={other} Follow(O)={else,#}
First(L)={else} Follow(L)={if,other}
First( P )={else,ε} Follow( P )={else,#}
First(T)={then} Follow(T)={if,other}

综合例子一 中反馈的问题:

  • S->IETSP|O 中求Follow(S)能运用规则2和3来求解S吗?

解答:

可以的,虽然规则中给出的是A和B两个不同的非终结符,但是
A和B在实际运用的过程中是可以相等的,即B=A
A和B在实际运用的过程中是可以相等的,即B=A
A和B在实际运用的过程中是可以相等的,即B=A
S->IETSP|O S后面有P,利用规则3,将First(P)加入Follow(S)中
但是,发现P可以等于ε,即S->IETS,利用规则二,将Follow(S)加入Follow(S)中
  • 在求Follow(S)发现P->LS|ε也是存在的,那么follow(s)={#,else}+follow( p ),而算到follow( p )发现follow( p )=follow(s) 就不知道怎么算了

解答:(很重要,认认真真地看)

我们需要同时满足
follow(s)={#,else}+follow(p)
follow(p)=follow(s)
将第二个式子带入一式得到
follow(s)={#,else}+follow(s)
注意:不能将follow(s)约掉,而是要想怎么样上面的等式仍然成立
那么,我们就会发现follow(s)只能等于{#,else}
因为 {#,else}={#,else}+{#,else}是成立的

综合例子二

G(E):E->TE'
E'->+TE'|ε
T->FT'
T'->*FT'|ε
F->(E)|i
First Follow
First(E)={(,i} Follow(E)={#,)}
First(E’)={+,ε} Follow(E’)={#,)}
First(T)={(,i} Follow(T)={+,#,)}
First(T’)={*,ε} Follow(T’)={+,#,)}
First(F)={(,i} Follow(F)={*,+,#,)}

综合例子二 中反馈的问题:

  • 为什么求E的FOLLOW集看到F->(E)|I直接将)右括号直接加入Follow中

解答:

这个问题需要回到最初的定义来理解
follow集的意思是紧跟后面的符号集,E后面有),即E后面有终结符。
属于规则二,但是终结符没有first和follow,所以直接添加即可。

综合例子三

G[S]: S→aH
H→aMd
H→d
M→Ab
M→ε
A→aM
A→e
First Follow
First(S)={a} Follow(S)={#}
First(H)={a,d} Follow(H)={#}
First(M)={a,e,ε} Follow(M)={d,b}
First(A)={a,e} Follow(A)={b}

综合例子四

G(E):E->TE'
E'->+E|ε
T->FT'
T'->T|ε
F->PF'
F'->*F'|ε
P->(E)|a|b|^
First Follow
First(E)={(,a,b,^} Follow(E)={#,)}
First(E’)={+,ε} Follow(E’)={#,)}
First(T)={(,a,b,^} Follow(T)={+,#,)}
First(T’)={(,a,b,^,ε} Follow(T’)={+,#,)}
First(F)={(,a,b,^} Follow(F)={(,a,b,^,+,#,)}
First(F’)={*,ε} Follow(F’)={(,a,b,^,+,#,)}
First( P )={(,a,b,^} Follow( P )={*,(,a,b,^,+,#)}

综合例子四中反馈的问题:

怎么求follow(E)和follow(E‘)?

根据G(E)和规则一,#加入follow(E)
根据P->(E)|a|b|^和规则二,)加入follow(E)
根据E'->+E|ε和规则三,将follow(E')到follow(E)里面

根据E->TE'和规则三得到将follow(E)到follow(E‘)里面 

=>
Follow(E)={#,)}+Follow(E')
Follow(E')=Follow(E)
根据综合例子一中一样的分析方法
Follow(E)={#,)}+Follow(E)=>Follow(E)={#,)}

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