JavaScript（第二篇）浮点数运算精度问题，一网打尽所有相关面试题

前言

本篇文章是《面试题一网打尽》专栏的 javascript 第二篇文章，彻底解决浮点数运算精度相关的面试题目。欢迎大家关注我的这个专栏。

一、IEEE 754 标准

我们经常在文档中看到这个标准感觉是什么高深的东西，其实 IEEE 是一个组织类似公司名称，754 就是一个编号而已，所以 IEEE754 就是这个组织提出的编号为 754 的规范文档，并不是什么高深的东西，这个文档我们可以在网上查看，也可以通过下面的网盘链接获取，这个文档的全程是《二进制浮点运算的IEEE754标准》

链接: https://pan.baidu.com/s/1wuKA_jE0cyn3X9w5WlSUKw 提取码: zh6t

1.1 IEEE754 规范

javascript 中整数和浮点数都是通过双精度浮点数的格式进行存储的，遵循IEEE754规范。下图截取自 IEEE754 规范的官方 pdf 文档

js 中应用的就是 double 的那一行，就是双精度，一共 11 + 53 = 64 位。

1.2 二进制的科学计数法

无论是整数还是浮点数，在存储之前都是需要先将十进制的数字转成二进制，再表示为科学记数法表示。二进制的科学记数法就是指数的底数为 2，比如

1.0001 * 2^10

转成科学记数法之后，一定是 1. 开头的，所以在存储的时候尾数部分【0001】存在后52位，但是实际上有一个永远是 1. 的开头，所以实际上是 53 为，这也是为什么最大的安全证书是 2^53 -1。

指数部分【10】存储在指数部分使用 11位存储，最后还有一位是符号位，0 表示正数，1表示负数。

一共就是 1 + 11 + 52 = 64 位。

符号位（1位）

指数位（11位）

尾数位（52位）

1.3 转成二进制

（1）十进制的数字整数部分转成二进制的方法是【除二取余法】

（2）小数部分转成二进制的方法是【乘二取整法】

所以对于一个即有整数部分也有小数部分的浮点数，整数部分和小数部分就需要分开来计算，然后再合并。比如整数部分得到【1101】，小数部分得到【00101】，合并一块就是【1101.00101】然后再用科学记数法表示。

1.10100101 * 2^3

1.4 指数部分的偏移量

在存储的时候指数部分需要加上一个固定的偏移量 1023【十进制】，然后再转成二进制进行存储。

为什么需要这个偏移量，因为指数部分一共 11 位，指数位的取值范围是【 -1023 ～ 1023】

1 - 2^10 ~ 2^10 -1

即便是负指数再加上这个偏移量【1023】之后也会变成正数，这样指数部分就不用符号位来指定指数的符号了。

二、数字存储

2.1 整数

整数部分转换成二进制使用除 2 取余法，当整数可以被精确地表示为 64 位浮点数时，连续的整数值不会存在偏差，但是当整数的值太大，即大于 2^53 -1【9007199254740992】，整数转化成二进制就不止 53 位了，可能54，55位，需要截取 53 前 53 位存储。所以无法精确表示。

所以有 Number.MAX_SAFE_INTEGER 表示最大安全值，是 2^53 -1 超过这个安全值的整数，连续的整数值不能再用双精度浮点数一一对应表示了。

所有整数也都是用科学计数法存储的，比如

1. 2^52 指数位是 52+1023的二进制形式， 小数位都是 0(因为是 2 的幂)
2. 2^53 = 9007199254740992 二进制
3. 能够被精确表示是指，转化成二进制后小于等于53位

对于大整数解决精度的问题，可以写个方法，通过转化成字符串的方式，模拟手工算术实现大数相加。

可以，使用Number.isInteger()判断数值是否是整数

2.2 对于浮点数

浮点数是指有小数位的数字。

浮点数转换成二进制，整数部分使用除 2 取余数，小数部分使用乘 2 取整的方法，转化成二进制101.000111....人后再把这个结果用使用科学计数法表示，1.01000111*2^2

IEEE 754标准定义了浮点数的二进制表示方法

1. 分解：将浮点数分解为整数部分和小数部分
2. 转换整数部分：使用➗2取余法，假如结果是 10011
3. 转换小数部分：使用✖️2取整法，无限循环小数取所需要的精度即可，假设结果是 00101
4. 格式化：合并整数部分和小数部分 10011.00101，用科学计数法表示为指数形式1.001100101 * 2^4，【二进制数中的最高位1，并将其左侧的所有位移到小数点右边，形成一个介于1（含）和2（不含）之间的数。这个数称为尾数（Mantissa）】【小数点左移正指数，小数点右移负指数】
5. 编码尾数：将尾数的小数部分和整数部分(整数部分一定是1，所以常被省略)【001100101】存在后52位中
6. 编码指数：指数【4】，以特定的偏移量表示，在IEEE 754双精度浮点数中，偏移量是1023，所以实际指数存储的是，科学计数法的指数【4】 + 1023 = 1027 ，将1027转化为二进制的形式，存在11位的指数位
7. 加上符号位，+0、 -1

有些小数使用乘2取整方法得到的结果是无限循环的值，所以在实际存储中只能截取其中的52位，就存在精度的问题。

对于浮点数的精度问题可以先转化成整数再做除法，对于浮点数的比较可以使用Number.EPSILON，计算两个浮点数的差值是否小于这个浮点数精度。

三、面试题

3.1 说说 js 为什么会存在数字精度丢失的问题，以及如何进行解决

1. js 中的数字类型在内存中是按照 IEEE 754 规范中双精度浮点数存储的(共 64 位)，（单精度浮点数32位）
2. IEEE 754 是《二进制浮点数规范》其中 IEEE 代表一个公司，754 是一个规范的编号
3. 64 = 1位符号位(0 代表整数，1代表负数) + 11 位指数位(k+1) + 52 位小数位 其实是 53 位，科学计数法的第一位永远是 1，也就是有效数总是 1.xxx 的形式，所以忽略不存了）
4. 任何数字都可以使用科学计数法表示，在存储数字时是按照以 2 为基数科学计数法存储的，一个数值使用科学计数法表示之后，后 52 位只存储科学计数法的小数部分。所以能够存储的数值在一定范围内，有些数字使用科学计数法表示小数部分超过 52 位，就会精度丢失
5. 可以使用 BigInt 来解决大整数相加，或者手动实现一个大数相加的方法。

3.2 为什么0.1 + 0.2 不等于 0.3？

1. 这涉及到 JavaScript 使用 IEEE 754 标准来表示浮点数，而在该标准下，某些十进制小数无法完全准确表示为二进制小数，导致精度问题。
2. 可以把小数*10转化成整数或者，使用 Number.EPSILON 比较差值

3.3 如何解决浮点数运算精度问题？

1. 可以使用一些技巧，比如将浮点数转换为整数进行运算，然后再转换回浮点数。另外，可以使用库如 BigNumber.js 或者使用 ECMAScript 新引入的 Number.EPSILON 进行比较。
2. 使用 toFixed（小数位数） 、toPrecision（整数+小数的总共的位数）

3.4 解释下 JavaScript 中的 Number.EPSILON。

1. Number.EPSILON 是 JavaScript 中表示1与大于 1 的最小浮点数之差。它可以用于比较两个浮点数是否相等，例如 Math.abs(a - b) < Number.EPSILON。

3.5 如何在 JavaScript 中判断一个数字是整数？

1. 可以使用 Number.isInteger() 方法，例如 Number.isInteger(5) 会返回 true，而 Number.isInteger(5.5) 会返回 false。

3.6 解释下 NaN（Not a Number）在浮点数运算中的作用。

1. 当涉及到无效的浮点数运算时，JavaScript 会返回 NaN。NaN 是一种特殊的浮点数，表示一个无效或未定义的数值。
2. 0/0
3. Infinity/Infinity 、Infinity - Infinity
4. 非数学运算，比如对负数开平方根、对负数取对数等
5. 使用未初始化的变量进行运算
6. 当阶码(指数部分)全为1时，只要位数不全为0 就是NaN

7. 

3.7 如何比较两个浮点数是否相等？

1. 由于浮点数精度的问题，直接使用 == 或 === 可能会导致错误的比较结果。推荐使用 Math.abs(a - b) < Number.EPSILON 这种方式来比较浮点数的相等性。希腊字母

3.8 在 JavaScript 中如何处理大数运算？

1. 对于大数运算，可以使用第三方库如 BigNumber.js，它提供了对大整数和大浮点数的支持。
2. 自定义大数运算函数，
3. 接受字符串形式的大数作为参数
4. js特别大，或者特别小的数会用指数格式展示，所以在实现大数相加的时候参数要是字符串，
5. 用toExponential 展示数字的指数表示形式