＜蓝桥杯软件赛＞零基础备赛20周--第14周--BFS
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文章目录
- 1. BFS简介和基本代码
- 2. BFS与最短路径
-
- 2.1 计算最短路的长度
- 2.2 输出完整的最短路径
- 3. BFS与判重
-
- 3.1 C++判重
- 3.2 Java判重
- 3.3 Python判重
第14周: BFS
1. BFS简介和基本代码
第12周博客用“一群老鼠走迷宫”做比喻介绍了BFS的原理，类似的比喻还有“多米诺骨牌”、“野火蔓延”。BFS的搜索过程是由近及远的，从最近的开始，一层层到达最远处。以下面的二叉树为例，一层一层地访问，从A出发，下一步访问B、C，再下一步访问D、E、F、G，最后访问H、I。圆圈旁边的数字是访问顺序。
一句话概况BFS的思想：全面扩散、逐层递进。
BFS的逐层访问过程如何编程实现？非常简单，用队列，“BFS = 队列”。队列的特征是先进先出，并且不能插队。BFS用队列实现：第一层先进队列，然后第二层进队列、第三层、…。
上面图示的二叉树用队列进行BFS操作：根节点A第1个进队列；然后让A的子节点B、C进队列；接下来让B、C的子节点D、E、F、G进队列；最后让E、G的子节点H、I进队列。节点进入队列的先后顺序是A-BC-DEFG-HI，正好按层次分开了。
在任何时刻，队列中只有相邻两层的点。
下面的代码输出图示二叉树的BFS序，用队列实现。队列和二叉树参考第6周队列和第7周二叉树的讲解。
C++代码
#include Java代码
import java.util.*;
public class Main {
private static final int N = 100;
private static char[] t = new char[N]; //简单地用一个数组定义二叉树
private static int ls(int p) {return p<<1;} //定位左孩子，也可以写成 p*2
private static int rs(int p) {return (p<<1) | 1;} //定位右孩子，也可以写成 p*2+1
private static void bfs(int root) {
Queue<Integer> queue = new LinkedList<>(); //定义队列
queue.add(root); //第一个节点进入队列
while (!queue.isEmpty()) { //用BFS访问二叉树
int u = queue.peek(); //读队头，并输出
System.out.print(t[u]);
queue.poll(); //队头处理完了，弹走
if (t[ls(u)] != '\0') queue.add(ls(u)); //左儿子进队列
if (t[rs(u)] != '\0') queue.add(rs(u)); //右儿子进队列
}
}
public static void main(String[] args) {
t[1] = 'A'; //第1层
t[2] = 'B'; t[3] = 'C'; //第2层
t[4] = 'D'; t[5] = 'E'; t[6] = 'F'; t[7] = 'G'; //第3层
t[10] = 'H'; t[14] = 'I'; //第4层
bfs(1); //BFS访问二叉树，从根节点1开始。输出：ABCDEFGHI
System.out.println();
bfs(3); //BFS访问二叉树的子树，从子节点3开始。输出：CFGI
}
}
Python代码
from collections import deque
N = 100
t = [''] * N # 简单地用一个数组定义二叉树
def ls(p): return p << 1 # 定位左孩子，也可以写成 p*2
def rs(p): return (p << 1) | 1 # 定位右孩子，也可以写成 p*2+1
def bfs(root):
q = deque() # 定义队列
q.append(root) # 第一个节点进入队列
while q: # 用BFS访问二叉树
u = q.popleft() # 读队头，并弹走
print(t[u], end='') # 输出队头
if t[ls(u)]: q.append(ls(u)) # 左儿子进队列
if t[rs(u)]: q.append(rs(u)) # 右儿子进队列
t[1] = 'A' # 第1层
t[2] = 'B'; t[3] = 'C' # 第2层
t[4] = 'D'; t[5] = 'E'; t[6] = 'F'; t[7] = 'G' # 第3层
t[10] = 'H';t[14] = 'I' # 第4层
bfs(1) # BFS访问二叉树，从根节点1开始。输出：ABCDEFGHI
print()
bfs(3) # BFS访问二叉树的子树，从子节点3开始。输出：CFGI
2. BFS与最短路径
求最短路径是BFS最常见的应用。
BFS本质上就是一个最短路径算法，因为它由进及远访问节点，先访问到的节点，肯定比后访问到的节点更近。某个节点第一次被访问到的时候，必定是从最短路径走过来的。从起点出发，同一层的节点，到起点的距离都相等。
不过，BFS求最短路有个前提：任意两个邻居节点的边长都相等，把两个邻居节点之间的边长距离称为“一跳”。只有所有边长都相等，才能用BFS的逐层递进来求得最短路。两个节点之间的路径长度，等于这条路径上的边长个数。在这种场景下，BFS是最优的最短路算法，它的计算复杂度只有O(n+m)，n是节点数，m是边数。如果边长都不等，就不能用BFS求最短路了，路径长度也不能简单地用边长个数来统计。
下图中，A到B、C、D的最短路长度都是1跳，A到E、F、G、H的最短路都是2跳。
用BFS求最短路路径的题目一般有两个目标：
（1）最短路径的长度。答案唯一，路径长度就是路径经过的边长数量。
（2）最短路径具体经过哪些节点。由于最短路径可能有多条，所以一般不用输出最短路径。如果要输出，一般是输出字典序最小的那条路径。例如上图中，A到F的最短路有两条：A-B-F、A-C-F，字典序最小的是A-B-F。
BFS最短路径的常用的场景是网格图，下面给出一道例题，用这道例题说明如何计算最短路、如何输出路径。
2.1 计算最短路的长度
例题：马的遍历
马走日，从一个坐标点出发，下一步有8种走法。第4、5行用dx[]、dy[]定义下一步的8个方向。设左上角的坐标是(1,1)，右下角坐标是(n,m)。
代码的主体部分是标准的BFS，让每个点进出队列。注意如何用队列处理坐标。第24行定义队列，队列元素是坐标struct node。
用dis[][]记录最短路径长度，dis[x][y]是从起点s到(x,y)的最短路径长度。第35行，每扩散一层，路径长度就加1。
C++代码：
#include 2.2 输出完整的最短路径
本题没有要求打印出具体的路径，不过为了演示如何打印路径，代码中加入了函数print_path(s,t)，打印从起点s到终点t的完整路径。第47行打印起点s=(1,1)，终点t=(3,3)的完整路径：(1,1)->(3,2)->(1,3)->(2,1)->(3,3)。如下图虚线箭头所示。
如何记录一条路径？在图上从一个起点s出发做一次BFS，可以求s到其他所有点的最短路。为了记录路径，最简单的方法是每走到一个点i，就在i上把从起点s到i经过的所有点都记下来。例如上图，从(1,1)出发，下一步可以走到(3,2)，就在(3,2)上记录”(1,1)->(3,2)”；再走一步可以到(1,3)，就在(1,3)上接着记录“(1,1)->(3,2)->(1,3)”；再走一步到(2,1)，就在(2,1)上记录“(1,1)->(3,2)->(1,3)->(2,1)”。这样做编程简单，但是浪费空间，因为每个点上都要记录从头到尾的完整路径。
《算法竞赛》123页“3.4 BFS与最短路径”介绍了这两种路径记录方法：简单方法、标准方法。
标准的路径记录方法是：只在点i上记录前驱点，也就是从哪个点走到i的。例如点(1,3)，记录它的前驱点是(3,2)，(3,2)记录它的前驱点是(1,1)。当需要输出起点(1,1)到(1,3)的完整路径时，只需要从(3,2)倒查回去，就能得到完整路径了。这样做非常节省空间，一个点上只需要记录前一个点就行了。
为什么不在点i上记录它的下一个点？请读者自己思考。
代码第8行用node pre[][]记录路径，pre[x][y]记录了坐标(x,y)的前驱点。按照pre[][]的记录倒查路径上每个点的前一个点，一直查到起点，就得到了完整路径。例如上图，终点为(3,3)，pre[3][3]是它的上一个点(2,1)；(2,1)的pre[2][1]是它的上一个点(1,3)；(1,3)的上一个点是(3,2)；(3,2)的上一个点是(1,1)，回到了起点。
print_path()打印路径，它是一个递归函数，从终点开始倒查pre[][]，一直递归到起点，然后再回溯回终点。在回溯的过程中从起点开始打印路径上的点，就得到了从起点到终点的正序路径。
另外，从起点s到终点t可能有多条最短路径，上面的代码只记录了按顺时针的优先顺序找到的第一条最短路径。第4、5行的dx[]、dy[]按顺时针定义了8个方向，然后在第29行遍历邻居时，也是按dx[]、dy[]的顺序，那么得到的最短路径就是按顺时针的。
Java代码：
import java.util.*;
class Main {
static class Node { //定义坐标。左上角(1,1)，右下角(n,m)
int x, y;
Node(int x, int y) {
this.x = x;
this.y = y;
}
}
public static void printPath(Node s, Node t, Node[][] pre){ //打印路径:起点s终点t
if (t.x == s.x && t.y == s.y) { //递归到了起点
System.out.print("(" + s.x + "," + s.y + ")->"); //打印起点，然会回溯
return;
}
Node p = pre[t.x][t.y];
printPath(s, p, pre); //先递归回到起点
System.out.print("(" + t.x + "," + t.y + ")->"); //回溯打印，最后打的是终点
}
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int m = scanner.nextInt();
Node s = new Node(scanner.nextInt(), scanner.nextInt());
int[][] dis = new int[n+1][m+1]; //dis[x][y]:起点到(x,y)的最短距离长度
int[][] vis = new int[n+1][m+1]; //vis[x][y]=1:已算出起点到坐标(x,y)的最短路
Node[][] pre = new Node[n + 1][m + 1]; //pre[x][y]:坐标(x,y)的前驱点
int[] dx = {2, 1, -1, -2, -2, -1, 1, 2}; //8个方向，按顺时针
int[] dy = {1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1};
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
dis[i][j] = -1;
dis[s.x][s.y] = 0; //起点到自己的距离是0
vis[s.x][s.y] = 1;
Queue<Node> queue = new LinkedList<>();
queue.add(s); //起点进队
while (!queue.isEmpty()) {
Node now = queue.poll(); //取队首并出队
for (int i = 0; i < 8; i++) {
int nx = now.x + dx[i];
int ny = now.y + dy[i];
if (nx < 1 || nx > n || ny < 1 || ny > m || vis[nx][ny] == 1)
continue; //出界或已经走过
vis[nx][ny] = 1; //标记为已找到最短路
dis[nx][ny] = dis[now.x][now.y] + 1; //计算最短路长度
pre[nx][ny] = now; //记录点next的前驱是now
queue.add(new Node(nx, ny));//进队列
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++)
System.out.printf("%-5d", dis[i][j]);
System.out.println();
}
// Node test = new Node(3, 3); //测试路径打印，样例输入：3 3 1 1，终点(3,3)
// printPath(s, test, pre); //输出路径：(1,1)->(3,2)->(1,3)->(2,1)->(3,3)->
}
}
Python代码
from collections import deque
dx = [2, 1, -1, -2, -2, -1, 1, 2] #8个方向，按顺时针
dy = [1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1]
class Node: #定义坐标。左上角(1,1)，右下角(n,m)
def __init__(self, x, y):
self.x = x
self.y = y
def print_path(s, t, pre): #打印路径：从起点s到终点t
if t.x == s.x and t.y == s.y: #递归到了起点
print(f"({s.x},{s.y})->", end="") #打印起点，返回
return
p = pre[t.x][t.y]
print_path(s, p, pre) #先递归回到起点
print(f"({t.x},{t.y})->", end="") #在回溯过程中打印，最后打的是终点
def main():
n, m,u,v = map(int, input().split())
s = Node(u,v)
dis = [[-1] * (m+1) for _ in range(n+1)] #dis[x][y]: 起点到(x,y)的最短距离长度
vis = [[0] * (m+1) for _ in range(n+1)] #vis[x][y]=1: 已算出起点到(x,y)的最短路
pre = [[None] * (m+1) for _ in range(n+1)] #pre[x][y]: 坐标(x,y)的前驱点
dis[s.x][s.y] = 0 #起点到自己的距离是0
vis[s.x][s.y] = 1
q = deque([s]) #起点进队
while q:
now = q.popleft() #取队首并出队
for i in range(8): #下一步可以走8个方向
nx, ny = now.x + dx[i], now.y + dy[i]
if nx<1 or nx>n or ny < 1 or ny > m or vis[nx][ny]:
continue #出界或已经走过
vis[nx][ny] = 1 #标记为已找到最短路
dis[nx][ny] = dis[now.x][now.y] + 1 #计算最短路长度
pre[nx][ny] = now #记录点(nx,ny)的前驱是now
q.append(Node(nx, ny)) #进队列
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, m + 1):
print(f"{dis[i][j]:-5d}", end="")
print()
#test = Node(3, 3) #测试路径打印，样例输入：3 3 1 1，终点(3,3)
#print_path(s, test, pre) #输出路径：(1,1)->(3,2)->(1,3)->(2,1)->(3,3)->
if __name__ == "__main__":
main()
3. BFS与判重
BFS的题目往往需要“判重”。BFS的原理是逐层扩展，把扩展出的下一层点（或称为状态）放进队列中。
在任意时刻，队列中只包含相邻两层的点。只有两层，看起来似乎不多，但是很多情况下是个极大的数字。例如一棵满二叉树，第25层的点就有225≈3000万个，队列放不下。
不过在很多情况下，其实状态的总数量并不多，在层层扩展过程中，很多状态是重复的，没有必要重新放进队列。这产生了判重的需求。
用下面的题目说明判重的原理和编程方法。
例题：九宫重排
题目求从初态到终态的最少步数，是典型的BFS最短路路径问题。
让卡片移动到空格比较麻烦，改为让空格上下左右移动，就简单多了。空格的每一步移动，可能有2、3、4种新局面，如果按3种算，移动到第15步，就有315>1千万种局面，显然队列放不下。不过，其实局面总数仅有9!=362880种，队列放得下，只要判重，不让重复的局面进入队列即可。
3.1 C++判重
判重可以用STL map或set。（1）map判重。map是STL容器，存放键值对。键有唯一性，键和值有一一对应关系。由于每个键是独一无二的，可以用来判重。map的基本用法见下面的例子。
#include map容器中提供了count()用于统计键的个数，有键返回1，没有键返回0。count()可以用来判重：若某个键的count()等于1，说明这个键已经在map中，不用再放进map。
下面给出本题的C++代码。第22行判重，判断局面tmp是否曾经处理过，第23行把新局面tmp放进map。
#include （2）set判重。set是STL的常用容器，set中的元素是有序的且具有唯一性，利用这个特性，set常用来判重。set的基本用法见下面的例子。
#include 本题用set判重的代码：
#include 3.2 Java判重
（1）用map判重
import java.util.*;
public class Main {
static int[] dx = {-1, 0, 1, 0}; // 上下左右四个方向
static int[] dy = {0, 1, 0, -1};
static Map<String, Integer> mp;
public static int bfs(String s1, String s2) {
Queue<String> q = new LinkedList<>();
q.add(s1);
mp.put(s1, 0); // 0表示s1到s1的步数是0
while (!q.isEmpty()) {
String ss = q.poll();
int dist = mp.get(ss); // 从s1到ss的移动步数
if (ss.equals(s2)) return dist; // 到达终点，返回步数
int k = ss.indexOf('.'); // 句点的位置
int x = k / 3, y = k % 3; // 句点坐标：第x行、第y列
for (int i = 0; i < 4; i++) {
int nx = x + dx[i], ny = y + dy[i]; // 让句点上下左右移动
if (nx < 0 || ny < 0 || nx > 2 || ny > 2) continue; // 越界
StringBuilder tmp = new StringBuilder(ss);
tmp.setCharAt(k, tmp.charAt(nx * 3 + ny)); // 移动
tmp.setCharAt(nx * 3 + ny, '.');
if (!mp.containsKey(tmp.toString())) {//判重，如果tmp处理过，就不再处理
mp.put(tmp.toString(), dist + 1); //把tmp放进map，并赋值为步数
q.add(tmp.toString());
}
}
}
return -1; // 没有找到终态局面，返回-1
}
public static void main(String[] args) {
mp = new HashMap<>();
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
String s1 = scanner.next();
String s2 = scanner.next();
System.out.println(bfs(s1, s2));
}
}
（2）用set判重
import java.util.*;
public class Main {
static int[] dx = {-1, 0, 1, 0}; // 上下左右四个方向
static int[] dy = {0, 1, 0, -1};
static Set<String> st;
static class Node {
String s; // 局面
int t; // 到这个局面的步数
public Node(String ss, int tt) {
s = ss;
t = tt;
}
}
public static int bfs(String s1, String s2) {
Queue<Node> q = new LinkedList<>();
q.add(new Node(s1, 0));
st.add(s1);
while (!q.isEmpty()) {
Node now = q.poll();
String ss = now.s;
int dist = now.t; // 从s1到ss的移动步数
if (ss.equals(s2)) return dist; // 到达终点，返回步数
int k = ss.indexOf('.'); // 句点的位置
int x = k / 3, y = k % 3; // 句点坐标：第x行、第y列
for (int i = 0; i < 4; i++) {
int nx = x + dx[i], ny = y + dy[i]; // 让句点上下左右移动
if (nx < 0 || ny < 0 || nx > 2 || ny > 2) continue; // 越界
StringBuilder tmp = new StringBuilder(ss);
tmp.setCharAt(k, tmp.charAt(nx * 3 + ny)); // 移动
tmp.setCharAt(nx * 3 + ny, '.');
if (!st.contains(tmp.toString())) {//判重，如果tmp处理过，就不再处理
st.add(tmp.toString());
q.add(new Node(tmp.toString(), dist + 1));
}
}
}
return -1; // 没有找到终态局面，返回-1
}
public static void main(String[] args) {
st = new HashSet<>();
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
String s1 = scanner.next();
String s2 = scanner.next();
System.out.println(bfs(s1, s2));
}
}
3.3 Python判重
（1）用set判重
from collections import deque
dx = [-1, 0, 1, 0] # 上下左右四个方向
dy = [0, 1, 0, -1]
class Node:
def __init__(self, s, t):
self.s = s # 局面
self.t = t # 到这个局面的步数
def bfs(s1, s2):
q = deque()
q.append(Node(s1, 0))
st = set()
st.add(s1)
while q:
now = q.popleft()
ss = now.s
dist = now.t # 从s1到ss的移动步数
if ss == s2: return dist # 到达终点，返回步数
k = ss.index('.')
x = k // 3
y = k % 3
for i in range(4):
nx = x + dx[i]
ny = y + dy[i]
if nx < 0 or ny < 0 or nx > 2 or ny > 2: continue # 越界
tmp = list(ss)
tmp[k], tmp[nx * 3 + ny] = tmp[nx * 3 + ny], tmp[k] # 移动
tmp = ''.join(tmp)
if tmp not in st: # 判重，如果tmp曾经处理过，就不再处理
st.add(tmp)
q.append(Node(tmp, dist + 1))
return -1 # 没有找到终态局面，返回-1
s1 = input() # 初态局面s1
s2 = input() # 终态局面s2
print(bfs(s1, s2))
（2）用字典判重
from collections import deque
dx = [-1, 0, 1, 0] # 上下左右四个方向
dy = [0, 1, 0, -1]
def bfs(s1, s2):
q = deque()
q.append(s1)
mp = {s1: 0} # 定义字典。mp[s1]=0表示s1到s1的步数是0
while q:
ss = q.popleft()
dist = mp[ss] # 从s1到ss的移动步数
if ss == s2: return dist # 到达终点，返回步数
k = ss.find('.')
x = k // 3
y = k % 3
for i in range(4):
nx = x + dx[i]
ny = y + dy[i]
if nx < 0 or ny < 0 or nx > 2 or ny > 2: continue # 越界
tmp = list(ss)
tmp[k], tmp[nx * 3 + ny] = tmp[nx * 3 + ny], tmp[k] # 移动
tmp = ''.join(tmp)
if tmp not in mp: # 判重，如果tmp曾经处理过，就不再处理
mp[tmp] = dist + 1 # 把tmp放进map，并赋值。mp[tmp]等于s1到tmp的步数
q.append(tmp)
return -1 # 没有找到终态局面，返回-1
s1 = input() # 初态局面s1
s2 = input() # 终态局面s2
print(bfs(s1, s2))
习题：
洛谷搜索提单：https://www.luogu.com.cn/training/112#problems