最全总结！一篇文章带你学会回溯算法

其实回溯算法和我们常说的 DFS 算法非常类似，本质上就是一种暴力穷举算法。回溯算法和 DFS 算法的细微差别是：回溯算法是在遍历「树枝」，DFS 算法是在遍历「节点」。

抽象地说，解决一个回溯问题，实际上就是遍历一棵决策树的过程，树的每个叶子节点存放着一个合法答案。你把整棵树遍历一遍，把叶子节点上的答案都收集起来，就能得到所有的合法答案。

框架：

result = []
def backtrack(路径, 选择列表):
    if 满足结束条件:
        result.add(路径)
        return
    
    for 选择 in 选择列表:
        做选择
        backtrack(路径, 选择列表)
        撤销选择

其核心就是 for 循环里面的递归，在递归调用之前「做选择」，在递归调用之后「撤销选择」，特别简单。

1. 子集【元素无重不可复选】

78. 子集 - 力扣（LeetCode）

因为考虑不重复，所以不需要添加前面已经用过的数字，所以不需要考虑boolean[] used，控制start即可；

同时在前序位置把走过的路径收集起来^ ^

难点跟上面单独挑出来的四次变化相同，把那个逻辑搞懂就行了

class Solution {

    List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();
    // 记录回溯算法的递归路径
    LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();

    // 主函数
    public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
        backtrack(nums, 0);
        return res;
    }

    // 回溯算法核心函数，遍历子集问题的回溯树
    void backtrack(int[] nums, int start) {

        // 前序位置，每个节点的值都是一个子集
        res.add(new LinkedList<>(track));
        
        // 回溯算法标准框架
        for (int i = start; i < nums.length; i++) {
            // 做选择
            track.addLast(nums[i]);
            // 通过 start 参数控制树枝的遍历，避免产生重复的子集
            backtrack(nums, i + 1);
            // 撤销选择
            track.removeLast();
        }
    }
}

2. 组合【元素无重不可复选】

77. 组合 - 力扣（LeetCode）

只需要稍改 base case，控制算法仅仅收集第 k 层节点的值即可。

class Solution {

    List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();
    // 记录回溯算法的递归路径
    LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();

    // 主函数
    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        backtrack(1, n, k);
        return res;
    }

    void backtrack(int start, int n, int k) {
        // base case
        if (k == track.size()) {
            // 遍历到了第 k 层，收集当前节点的值
            res.add(new LinkedList<>(track));
            return;
        }
        
        // 回溯算法标准框架
        for (int i = start; i <= n; i++) {
            // 选择
            track.addLast(i);
            // 通过 start 参数控制树枝的遍历，避免产生重复的子集
            backtrack(i + 1, n, k);
            // 撤销选择
            track.removeLast();
        }
    }
}

3. 排列【元素无重不可复选】

46. 全排列 - 力扣（LeetCode）

class Solution {
    List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();

    /* 主函数，输入一组不重复的数字，返回它们的全排列 */
    List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        // 记录「路径」
        LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();
        // 「路径」中的元素会被标记为 true，避免重复使用
        boolean[] used = new boolean[nums.length];
        
        backtrack(nums, track, used);
        return res;
    }

    // 路径：记录在 track 中
    // 选择列表：nums 中不存在于 track 的那些元素（used[i] 为 false）
    // 结束条件：nums 中的元素全都在 track 中出现
    void backtrack(int[] nums, LinkedList<Integer> track, boolean[] used) {
        // 触发结束条件
        if (track.size() == nums.length) {
            res.add(new LinkedList(track));
            return;
        }
        
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            // 排除不合法的选择
            if (used[i]) {
                // nums[i] 已经在 track 中，跳过
                continue;
            }
            // 做选择
            track.add(nums[i]);
            used[i] = true;
            // 进入下一层决策树
            backtrack(nums, track, used);
            // 取消选择
            track.removeLast();
            used[i] = false;
        }
    }
}

注意从1,2,3 → 1,2 → 1 → 1,3 → 1,3,2的过程

第一次变化，是track.size() == nums.length，都被选过了，加进res，把3踢出去

第二次变化，是return回2，所以要继续往下走，而不是再进一次backtrack

第三次变化，for那里i从1变2，滚到的就是数字3

第四次变化，进了backtrack，又滚到2了

4. 子集/组合【元素可重不可复选】

90. 子集 II - 力扣（LeetCode）

class Solution {

    List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();
    LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();

    public List<List<Integer>> subsetsWithDup(int[] nums) {
        // 先排序，让相同的元素靠在一起
        Arrays.sort(nums);
        backtrack(nums, 0);
        return res;
    }

    void backtrack(int[] nums, int start) {
        // 前序位置，每个节点的值都是一个子集
        res.add(new LinkedList<>(track));
        
        for (int i = start; i < nums.length; i++) {
            // 剪枝逻辑，值相同的相邻树枝，只遍历第一条
            if (i > start && nums[i] == nums[i - 1]) {
                continue;
            }
            track.addLast(nums[i]);
            backtrack(nums, i + 1);
            track.removeLast();
        }
    }
}

这里一个要记的点：

i > start 那里，就是对同一个起点，一直往后遍历取元素，这个时候才考虑相邻两个是否一样

5. 排列【元素可重不可复选】

47. 全排列 II - 力扣（LeetCode）

对比一下之前的标准全排列解法代码，这段解法代码只有两处不同：

1、对 nums 进行了排序。

2、添加了一句额外的剪枝逻辑。

class Solution {

    LinkedList<List<Integer>> res = new LinkedList<>();
    LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();
    boolean[] used;

    public List<List<Integer>> permuteUnique(int[] nums) {
        Arrays.sort(nums);
        used = new boolean[nums.length];
        backtrack(nums);
        return res;
    }
  
    void backtrack(int[] nums) {
        if (track.size() == nums.length) {
            res.add(new LinkedList<>(track));
            return;
        }

        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (used[i]) {continue;}
            
            if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && !used[i - 1]) {continue;}

            track.add(nums[i]);
            used[i] = true;
            backtrack(nums);
            track.removeLast();
            used[i] = false;
        }
    }
}

6. 子集/组合【元素无重可复选】

39. 组合总和 - 力扣（LeetCode）

那么反过来，如果我想让每个元素被重复使用，我只要把 i + 1 改成 i 即可。

class Solution {

    List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();
    // 记录回溯的路径
    LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();
    // 记录 track 中的路径和
    int trackSum = 0;

    public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        if (candidates.length == 0) {
            return res;
        }
        backtrack(candidates, 0, target);
        return res;
    }

    // 回溯算法主函数
    void backtrack(int[] nums, int start, int target) {
        // base case，找到目标和，记录结果
        if (trackSum == target) {
            res.add(new LinkedList<>(track));
            return;
        }
        // base case，超过目标和，停止向下遍历
        if (trackSum > target) {
            return;
        }

        // 回溯算法标准框架
        for (int i = start; i < nums.length; i++) {
            // 选择 nums[i]
            trackSum += nums[i];
            track.add(nums[i]);
            // 递归遍历下一层回溯树
            // 同一元素可重复使用，注意参数
            backtrack(nums, i, target);
            // 撤销选择 nums[i]
            trackSum -= nums[i];
            track.removeLast();
        }
    }
}

7. 排列【元素无重可复选】

那这个问题就简单了，代码如下：

class Solution {

    List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();
    LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();

    public List<List<Integer>> permuteRepeat(int[] nums) {
        backtrack(nums);
        return res;
    }

    // 回溯算法核心函数
    void backtrack(int[] nums) {
        // base case，到达叶子节点
        if (track.size() == nums.length) {
            // 收集叶子节点上的值
            res.add(new LinkedList(track));
            return;
        }

        // 回溯算法标准框架
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            // 做选择
            track.add(nums[i]);
            // 进入下一层回溯树
            backtrack(nums);
            // 取消选择
            track.removeLast();
        }
    }
}

8. 总结

来回顾一下排列/组合/子集问题的三种形式在代码上的区别。

由于子集问题和组合问题本质上是一样的，无非就是 base case 有一些区别，所以把这两个问题放在一起看。

形式一、元素无重不可复选，即 nums 中的元素都是唯一的，每个元素最多只能被使用一次，

backtrack 核心代码如下：

/* 组合/子集问题回溯算法框架 */
void backtrack(int[] nums, int start) {
    // 回溯算法标准框架
    for (int i = start; i < nums.length; i++) {
        // 做选择
        track.addLast(nums[i]);
        // 注意参数
        backtrack(nums, i + 1);
        // 撤销选择
        track.removeLast();
    }
}

/* 排列问题回溯算法框架 */
void backtrack(int[] nums) {
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        // 剪枝逻辑
        if (used[i]) {
            continue;
        }
        // 做选择
        used[i] = true;
        track.addLast(nums[i]);

        backtrack(nums);
        // 撤销选择
        track.removeLast();
        used[i] = false;
    }
}

形式二、元素可重不可复选，即 nums 中的元素可以存在重复，每个元素最多只能被使用一次，其关键在于排序和剪枝，backtrack 核心代码如下：

Arrays.sort(nums);
/* 组合/子集问题回溯算法框架 */
void backtrack(int[] nums, int start) {
    // 回溯算法标准框架
    for (int i = start; i < nums.length; i++) {
        // 剪枝逻辑，跳过值相同的相邻树枝
        if (i > start && nums[i] == nums[i - 1]) {
            continue;
        }
        // 做选择
        track.addLast(nums[i]);
        // 注意参数
        backtrack(nums, i + 1);
        // 撤销选择
        track.removeLast();
    }
}


Arrays.sort(nums);
/* 排列问题回溯算法框架 */
void backtrack(int[] nums) {
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        // 剪枝逻辑
        if (used[i]) {
            continue;
        }
        // 剪枝逻辑，固定相同的元素在排列中的相对位置
        if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && !used[i - 1]) {
            continue;
        }
        // 做选择
        used[i] = true;
        track.addLast(nums[i]);

        backtrack(nums);
        // 撤销选择
        track.removeLast();
        used[i] = false;
    }
}

形式三、元素无重可复选，即 nums 中的元素都是唯一的，每个元素可以被使用若干次，只要删掉去重逻辑即可，backtrack 核心代码如下：

/* 组合/子集问题回溯算法框架 */
void backtrack(int[] nums, int start) {
    // 回溯算法标准框架
    for (int i = start; i < nums.length; i++) {
        // 做选择
        track.addLast(nums[i]);
        // 注意参数
        backtrack(nums, i);
        // 撤销选择
        track.removeLast();
    }
}


/* 排列问题回溯算法框架 */
void backtrack(int[] nums) {
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        // 做选择
        track.addLast(nums[i]);
        backtrack(nums);
        // 撤销选择
        track.removeLast();
    }
}