C++题目：卡特兰数

卡特兰数

题目描述

这里有一个经典的组合计数问题（这是2009年全国高中数学联赛河北省预赛试题）：

$10$个人去买票，其中$5$个人每人只有五元纸币一张，另外$5$个人每人只有十元纸币一张。

售票处初始的时候没有任何零钱。

如果只关心每个人的持有的纸币面值（例如，持有五元纸币的人视作相同的），那么这些人有几种来买票的先后顺序，使售票处总能顺利找零。

这个问题与“从正方网格中，从左下角走最短路到右上角，但不穿越图中对角线”的走法数完全等价。

因为可以认为一次向右对应一个五元的人买票，一次向上对应一个十元的人买票，则“不超过对角线”等价于“任何时刻向右次数不少于向上次数”等价于“任何时刻五元人数不少于十元人数”等价于“总能顺利找零”。

买票问题的答案为“卡特兰数”$C_5=42$。上图走格子方法数则为“卡特兰数”$C_4=14$。实际上，若持有五元、十元纸币的各有$n$人，或正方形边长为$n$，则方法数为“卡特兰数”$C_n$。

“卡特兰数”是组合计数问题中较为高级，但十分常用的一个数列，一般用$C_0,C_1,\cdots ,C_n,\cdots$表示，其中

$C_n=1(n=0)$

$C_n=C_0\times C_{n-1}+C_1\times C_{n-2}+\cdots +C_{n-1}\times C_0(n>0)$

本题中，通过$n$，请计算得到$C_n$并输出。

输入格式

一个整数$n$。

输出格式

一行，一个数，即卡特兰数$C_n$。

保证这个数可以用long long类型存储。

样例 #1

样例输入 #1

10

样例输出 #1

16796

提示

$0\le n\le 25$。

答案

#include
using namespace std;

int main(){
	long long n,C[10001],ans;
	cin >> n;
	C[0]=1;
	C[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=i-1;j++){
			C[i] += C[j] * C[i-j-1];
		}
	}
	cout << C[n];
	return 0;
}