回溯算法---子集和问题

算法概述

回溯法思路的简单描述：把问题的解空间转化成了图或者树的结构表示，然后使用深度优先搜索策略进行遍历，遍历的过程中记录和寻找所有可行解或者最优解。

回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树，当算法搜索至解空间树的某一节点时，先利用剪枝函数判断该节点是否可行（即能得到问题的解）。

（1）如果不可行，则跳过对该节点为根的子树的搜索，逐层向其祖先节点回溯；
（2）如果可行，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。

剪枝函数的作用是避免无效的搜索。包括两类：
a. 使用约束函数，剪去不满足约束条件的路径；
b. 使用限界函数，剪去不能得到最优解的路径。

当问题是要求满足某种性质（约束条件）的所有解或最优解时，往往使用回溯法。

题目

给定n个正整数，找到一个子集使其和等于d。注：这n个数可能存在重复的元素

分析与设计

1. 给定的数是n个正整数，也就是不包括负数和零。其次这n个正整数并没有说是集合，所以可能存在重复元素，题目最后也说到了这一点
2. 是找满足条件的子集，子集是个集合，是集合就不能用重复元素。所以在设计算法时还要考虑去重复问题（剪枝）
3. 满足条件的子集和可能不止一个，找到一个即可
4. 要先对n个正整数进行从小到大排序，这样可以减少递归次数，因为当一个数a[k]已经大于d以后，后面的数肯定也不会满足条件，可以直接break
5. 若当前元素a[k]是前面已经出现过的元素，那么就不需要再次进行判断了，因为已经判断过了，直接continue

代码

#include
#include
#define MaxSize 100
using namespace std;
int a[MaxSize], b[MaxSize];
int n;				//输入的正整数的个数 
int index = 0;		//用来记录子集当前长度 
bool flag = false;
int InitAndInsertSort(int n){
	int x;
	scanf("%d", &a[1]);
	for(int i = 2; i <= n; i++){
		scanf("%d", &x);
		int j = i-1;
		while(j >= 1 && x < a[j]){
			a[j+1] = a[j];
			j--;
		}
		a[j+1] = x;
	}
}
void output(){
	if(flag == false)
		printf("No Solution\n");
	else{
		printf("result：{ ");
		for(int i = 0; i < index; i++){
			printf("%d ", b[i]);
		}
		printf("}\n");
	}
}
//递归式深度优先搜索
void backtrack(int t, int d){
	printf("%d %d %d\n", t, d, index);
	if(d == 0){
		flag = true;
		return;
	}
	for(int i = t; i <= n; i++){
		//如果当前的数已经大于当前剩余的和，那么后面的数都不满足条件，退出当前层递归（剪枝）
		if(a[i] > d)
			break;
		//子集的元素是无重复元素的
		//若结果集合中已含有当前数字，跳过本次判断（剪枝） 
		if(i > 1 && a[i] == a[i-1])
			continue;
		b[index++] = a[i];
		backtrack(i + 1, d - a[i]);
		if(flag == true)
			return;		//因为题目要求是要找一个子集，即可结束回溯 
		index--; 
	}
}

int main(){
	int d;
	scanf("%d", &n);
	//对n个正整数进行直接插入排序，保存在a数组中 
	InitAndInsertSort(n); 
	scanf("%d", &d);
	backtrack(1, d);	//回溯算法求结果 
	output();			//输出结果 
	return 0;
}