2021-08-03-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(二) P063 例1）
设是一个给定的正整数,证明方程
至多有有限组正整数解.
证明
可设.结论等价于证明方程
(1)
至多只有有限组正整数解.
首先注意,给定,方程(1)显然至多有有限组解.下面证明,当充分大时,方程(1)无解,由此便证明了上述的结论.
取定一个素数.可假定(1)有解(否则已无需证明),并设,则有
,(2)
其中是一个仅与有关的(正)常数.
设模的阶为以及,当时,模的阶为.因、均为固定的数,故、也均为固定的数.若(1)对充分大的有解,则由知.而由(1)得
,
故由阶的性质推出;特别地,,因此,
.(3)
但当充分大时,易知上式右边.故由(3)推出,更有,因此当充分大时,(1)无正整数解.这就完成了证明.
2021-08-03-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(二) P064 例2）
求所有整数,使得是整数.
解
容易猜想,是唯一符合要求的解.下面证明事实确实如此.
证明需分几步进行.第一个要点是考虑的最小素因子,并由导出.因此我们可设
.(1)
第二步,证明.由得,故
.(2)
若,模的阶是,故由(2)推出,,即,从而(因,),这与(1)中矛盾.故必须有.
第三步,证明(1)中的.这可与上述第一步类似地进行:若,设是的最小素因子,则有
.(3)
设是模的阶,由(3)得,又,故及,从而.由的选取知,所以,再由,推知或.易知为不可能;而由(3)知也不可能.所以必有.因此.
请注意,若先证明(1)中的将不易奏效.这里的论证次序颇为重要此外,第二步中也可通过比较素数幂来证明:
由二项式定理得
(4)
设,则
,
于是由可见,可见,被整除,而满足(注意)
,
故,从而(4)式右边的和被整除.若,则,故由及(4)推出,即,这与(1)矛盾,因此必有.
2021-08-03-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(二) P065 例3）
证明:对每个,方程
没有有理数根.
证明
设是所说的方程的一个有理根,则易知
,(1)
于是是一个首项系数为的整系数多项式的有理根,故必是一个整数.
因,故有素因子.由于,故由(1)推出,从而素数整除.现在比较(1)式左边各项中含的方幂.因为在中出现的次数为
,
故有.设.则由于及,可知,从而由(1)得出,这与的定义相违.