不定积分知识结构图_大一上学期《高等数学》知识整理-第四章 不定积分

镇文图

☆说在前面☆

本章内容应该紧跟着第三章的知识整理发布的，但是中间出了点问题，所以鸽了。不定积分的公式你要说有多少，那是真的多。我在一本教材的附录上找到了不定积分表，里面有140多个公式。最初我是打算把这些公式从头到尾都推导一遍，发现工作量大得不可思议，而且有些我根本就推导不出来！其实，不定积分的核心知识点并不多，那些拓展性的结论其实没必要记忆(反正也记不住，考试的时候还是得重新推导)。本次知识整理我将对不定积分这一章节的知识点进行整理，力争保留最精华的部分。

一、核心知识点

1.不定积分的概念

如果一个函数F(x)的导数是f(x)，那么就称F(x)是f(x)的【一个】原函数。f(x)所有原函数的集合称为f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx=F(x)+C。

2.基本积分公式基本积分公式

其中基本积分公式(一)是由基本求导公式直接得到的，基本积分公式(二)是由第一类换元法推导出来的。

3.不定积分的性质

加可拆，系数可提。∫[kf(x)+g(x)]dx=k∫f(x)dx+∫g(x)dx。

4.求不定积分之第一类换元法(凑微分法)

∫f[g(x)]·g'(x)dx=∫f[g(x)]d[g(x)]dx=F[g(x)]+C

注意到不定积分的表示式“∫f(x)dx”中有一个微分符号d，那么也就是说它符合微分的运算法则【d[f(x)]=f'(x)dx】。如果f(x)中的一个部分很好积分，那么就可以把这个部分移到微分符号的右边去。比如∫(sin x·cos x)dx，容易知道cos x的一个原函数是sin x，于是原式子化为∫(sin x)d(sin x)，令u=sin x，得原式=∫udu，很容易就知道原式等于(1/2)u²，再还原即得∫(sin x·cos x)dx=(1/2)sin²x。

第一类换元法是求不定积分的核心方法，即使用到后面的第二类换元法和分部积分法，也离不开第一类换元法。其中，基本微分性质必须熟悉：dφ(x)=(1/a)d[aφ(x)+b]。

5.求不定积分之第二类换元法

第一类换元法的核心是令u=g(x)，与之相反，第二类换元法的核心是令x=g(u)。

∫f(x)dx=∫f[g(u)]d[g(u)]=∫f[g(u)]g