违反直觉的“三门”问题

作者：亚马逊的蝴蝶（Butterfly_of_Amazon）

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有一个关于概率的“三门”问题，很有意思，90%的人都会答错。

大部分人会回答：不必换。因为换与不换获奖概率是一样的，都是50%，也有人说都是1/3。而正确答案是：应该换。不换门的获奖概率是1/3，而换的获奖概率为2/3。

是不是有些反直觉？直觉告诉我们：任何一扇门后有车的可能性都是一样的，因此换与不换无所谓。但其实细想一下很容易明白，假设跑车在第一扇门后，把选择第一、二、三扇门的情况挨个在脑中想一遍，可以发现：如果不换门，你只有在选择第一扇门时才能获奖，而如果换门，你选择第二或第三扇门都能获奖，显然换后获奖概率更大。

这个“三门”问题的结果为什么会违反大多数人的直觉？如果主持人先打开一扇空门，剩下两扇门中任何一个有车的可能性都是50%，但为什么我先选择一下，主持人再开门，却能改变另两扇门后有车的可能性呢？主持人开门的瞬间发生了什么？要回答这个问题，我们可以把三扇门换成 n 扇门，这样更容易看清楚这个问题的本质：

• 第一次选中有车的门的概率是 1/n ，选中无车的门的概率是 (n-1)/n 。
• 当主持人打开一扇空门后，你不换门的话，获奖概率就是1/n ；而换门的话，需要在 n-2 扇门中再次选择，第二次选中有车的门的概率是1/(n-2) ，乘以第一次选择无车的门的概率，得到总的概率为 (n-1)/n × 1/(n-2) = 1/n × [ (n-1)/(n-2)] > 1/n ，因此大于不换门时获奖的概率。
• 如果不是你先指定一扇门，而是主持人先打开一扇空门后你再选择，获奖概率是 1/(n-1) ，用2中换门时获奖概率除以此概率，有：(n-1)(n-1)/n(n-2) = (n^2 - 2n + 1)/(n^2 -2n) > 1 ，因此还是2中换门获奖概率更高。

总结一下：

1. “三门”问题的本质是：主持人排除一扇空门为你二次选择带来的获奖概率增幅大于你损失掉的第一次选择时获奖的概率。
2. 概率不是附属于某个个体的独有属性，它依赖于群体而存在，群体中的任何变化都可能对概率的分布带来影响。