算法通关村第十一关—理解位运算的规则(青铜)

       理解位运算的规则

一、与、或、异或和取反

 与运算的符号是&，运算规则是：对于每个二进制位，当两个数对应的位都为1时，结果才为1，否则结果为0。
 或运算的符号是，运算规则是：对于每个二进制位，当两个数对应的位都为0时，结果才为0，否则结果为1。
 异或运算的符号是⊕（在代码中用∧表示异或)，运算规则是：对于每个二进制位，当两个数对应的位相同时，结果为0，否则结果为1。
 取反运算的符号是~，运算规则是：对一个数的每个二进制位进行取反操作，0变成1,1变成0。

0&0=0
0&1=0
1&0=0
1&1=1

0|0=0
0|1=1
1|0=1
1|1=1

0⊕0=0
0⊕1=1
1⊕0=1
1⊕1=0

 以下例子显示上述四种位运算符的运算结果，参与运算的数字都采用有符号的8位二进制表示。
 46的二进制表示是00101110,51的二进制表示是00110011。考虑以下位运算的结果。
46&51的结果是34，对应的二进制表示是00100010。
46|51的结果是63，对应的二进制表示是00111111。
46⊕51的结果是29，对应的二进制表示是00011101。
~46的结果是一47，对应的二进制表示是11010001。
~51的结果是一52，对应的二进制表示是11001100。

二、移位运算

 移位运算按照移位方向分类可以分成左移和右移，按照是否带符号分类可以分成算术移位和逻辑移位。
原始：0000 0110 6
右移一次：0000 0011 3 相当于除以2
左移一次：0000 1100 12相当于乘以2

 左移运算的符号是<<，左移运算时，将全部二进制位向左移动若干位，高位丢弃，低位补0。对于左移运算，算术移位和逻辑移位是相同的。
 右移运算的符号是>>。右移运算时，将全部二进制位向右移动若干位，低位丢弃，高位的补位由算术移位或逻辑移位决定：
1.算术右移时，高位补最高位；
2.逻辑右移时，高位补0。
 以下例子显示移位运算的运算结果，参与运算的数字都采用有符号的8位二进制表示。

示例1：29的二进制表示是00011101。29左移2位的结果是116，对应的二进制表示是
01110100；29左移3位的结果是一24，对应的二进制表示是11101000。

示例2：50的二进制表示是00110010。50右移1位的结果是25，对应的二进制表示是00011001；50右移2位的结果是12，对应的二进制表示是00001100。对于0和正数，算术右移和逻辑右移的结果是相同的。

示例3：-50的二进制表示是11001110（补码）。-50算术右移2位的结果是一13，对应的二进制表示是11110011；一50逻辑右移2位的结果是51，对应的二进制表示是00110011。

右移运算中的算术移位和逻辑移位是不同的，计算机内部的右移运算采取的是哪一种呢？
对于Java而言，不存在无符号类型，所有的表示整数的类型都是有符号类型，因此需要区分算术右移和逻辑右移。在Java中，算术右移的符号是>>，逻辑右移的符号是>>>。

三、移位运算与乘除法的关系

 观察上面的例子可以看到，移位运算可以实现乘除操作。由于计算机的底层的一切运算都是基于位运算实现的，因此使用移位运算实现乘除法的效率显著高于直接乘除法的。
 左移运算对应乘法运算。将一个数左移k位，等价于将这个数乘以2k。例如，29左移2位的结果是116,等价于29×4。当乘数不是2的整数次幂时，可以将乘数拆成若干项2的整数次幂之和，例如，a×6等价于(a<<2)+(a<<1)。对于任意整数，乘法运算都可以用左移运算实现，但是需要注意溢出的情况，例如在8位二进制表示下，29左移3位就会出现溢出。
 算术右移运算对应除法运算，将一个数右移k位，相当于将这个数除以2k。例如，50右移2位的结果是12，等价于50/4，结果向下取整。
 从程序实现的角度，考虑程序中的整数除法，是否可以说，将一个数（算术)右移k位，和将这个数除以2k等价？对于0和正数，上述说法是成立的，整数除法是向0取整，右移运算是向下取整，也是向0取整。但是对于负数，上述说法就不成立了，整数除法是向0取整，右移运算是向下取整，两者就不相同了。例如，(-50)>>2的结果是-13，而(-50)/4的结果是-12，两者是不相等的。因此，将一个数（算术)右移k位，和将这个数除以2k是不等价的。算法出题这早就考虑到了这一点，因此在大部分算法题都将测试数据限制在正数和0的情况，因此可以放心的左移或者右移。

四、位运算常用技巧

 位运算的性质有很多，此处列举一些常见性质，假设以下出现的变量都是有符号整数。
幂等律：a&a=a,a|a=a(注意异或不满足幂等律)；
交换律：a&b=b&a,a|b=b|a,a⊕b=b⊕a;
结合律：(a&b)&c=a&(b&c),(a|b)|c=a|(b|c),(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c);
分配律：(a&b)|c=(a|c)&(b|c),(a|b)&c=(a&c)|(b&c),(a⊕b)&c=(a&c)⊕(b&c);
德摩根律：_(a&b)=(a)|(_b),(a|b)=(_a)&(b);
取反运算性质：-1=_0，-a=(a-1)；
与运算性质：a&0=0,a&(-1)=a,a&(~a)=0;
或运算性质：a|0=a;
异或运算性质：a⊕0=a,a⊕a=0;

根据上面的性质，可以得到很多处理技巧，这里列举几个：
a&（a-1)的结果为将a的二进制表示的最后一个1变成0；
(补码)a&(-a)的结果为只保x留a的二进制表示的最后一个1，其余的1都变成0。
 处理位操作时，还有很多技巧，不要死记硬背，理解其原理对解决相关问题有很大帮助。下面的示例中，1s和0s分别表示与x等长的一串1和一串0：

x^0s=x
x^1s=~x
x^x=0

x&0s=0s
x&1s=x
x&x=x

x|0s=x
x|1s=1s
x|x=x

 而如何获取、设置和更新某个位的数据，也有固定的套路。例如：
1.获取
 该方法是将1左移i位，得到形如00010000的值。接着对这个值与num执行“位与”操作，从而将位之外的所有位清零，最后检查该结果是否为零。不为零说明位为1，否则位为0。代码如下：

boolean getBit(int num,int i){
	return ((num&(1<<i))!=0); //左移使低位自动补0，高位没有数字，也默认为0
}

2.设置（将某一位设置为1）
 setBit先将1左移i位，得到形如00010000的值，接着对这个值和num执行”位或“操作，这样只会改变i位的数据。这样除i位外的位均为零，故不会影响um的其余位。代码如下：

int setBit(int num,int i){
    return num | (1 << i);
}

3.清零（将某一位设置为0）
 该方法与setBit相反，首先将1左移位获得形如00010000的值，对这个值取反进而得到类似11101111的值，接着对该值和num执行”位与“，故而不会影响到num的其余位，只会清零位。

int clearBit(int num int i){
	int mask = ~(1<<i);
	return num & mask;
)

4.更新
 这个方法是将setBit和clearBit合二为一，首先用诸如11101111的值将num的第i位清零。接着将待写入值v左移i位，得到一个i位为v但其余位都为0的数。最后对之前的结果执行”位或“操作，v为这num的i位更新为1,否则为0：

int updateBit(int num,int i,int v){
	int mask=~(1<<i);
	return (num & mask) | (v << i);
}