C++:第十二讲DFS深搜（二）
前言
今天带着大家学习一下DFS的各类题目,如果想了解一些基础，可以看：C++：第十一讲DFS深搜-CSDN博客
DFS回顾
温故而知新，让我们一起把上节课的内容复习一遍吧！
搜索算法，就是利用计算机的高性能，对问题的“状态空间”进行枚举，穷举出一个问题的全部或者部分可能的情况，找到最优解或者统计合法解的个数。 在搜索算法中，深度优先搜索算法（Depth First Search，DFS，简称深搜），常常指利用递归函数方便地实现暴力枚举的算法，也称为“回溯法”。通过递归函数，我们可以逐层地枚举每一种可能，从而实现枚举所有可能的“状态”。 搜索算法是一些高级算法的基础，而搜索算法可以在很多问题中解决数据范围较小的部分。掌握正确的写搜索算法，对后续高级算法的学习和理解有着一定的帮助。
本节课将介绍数的拆分问题、N皇后问题、迷宫问题。
例题P2404 自然数的拆分问题
题目描述
任何一个大于 11 的自然数n，总可以拆分成若干个小于 n 的自然数之和。现在给你一个自然数 n，要求你求出n 的拆分成一些数字的和。每个拆分后的序列中的数字从小到大排序。然后你需要输出这些序列，其中字典序小的序列需要优先输出。
输入格式
输入：待拆分的自然数 n。
输出格式
输出：若干数的加法式子。
输入
7
输出
1+1+1+1+1+1+1
1+1+1+1+1+2
1+1+1+1+3
1+1+1+2+2
1+1+1+4
1+1+2+3
1+1+5
1+2+2+2
1+2+4
1+3+3
1+6
2+2+3
2+5
3+4
说明/提示
数据保证，2≤n≤8。
解题思路
ai+1>ai。
AC：
#include
using namespace std;
int n,a[10];
void dfs(int he,int c,int qs){
if(he==n){
for(int i=1;i<=c-2;i++){
cout<n) return;//过头返回。
for(int i=qs;i<=n-1;i++){
a[c]=i;//记录输出。
dfs(he+i,c+1,i);
a[c]=0;//改回原来的0；
}
}
int main(){
cin>>n;
dfs(0,1,1);
return 0;
} N皇后问题 （有修改）
题目描述
这题是著名的 N 皇后问题。
输入格式
第一行有一个 N。接下来有 N 行 N 列描述一个棋盘，Q 表示可放，.表示不可放。
输出格式
输出方案。
输入 #1
4
输出 #1
.Q..
...Q
Q...
..Q.
..Q.
Q...
...Q
.Q..
说明/提示
140 n皇后问题是指将 n个皇后放在 n×n 的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。 显然这道题可以直接暴力搜索。不会的自行搜索DFS。但是只能得60分。解题思路
但是TLE四个点。为什么呢？看到dfs函数中的for循环一行。其中有很多方案是不可能的，但是这样写的话必须一个一个判断是否可以落子。导致超时。如何改进呢？
这里我们可以用位运算进行优化。我们用整形中的一个bit表示当前位置是否可以落子。对于左右斜线，竖线各保存一个副本。求并集（C++中的&运算）可以得到哪里可以落子。再用lowbit运算得到第一个可以落子的位置，这样只需要判断是不是*字符就行了。
具体而言，我们用函数 DFS。
大致思路:
1.用一个二进制数表示一行的摆放情况，0表示可以放皇后，1表示不可以放皇后，别忘了皇后上下左右和两条斜对角线都吃得了。
2.用sp[i]表示第i行的摆放情况，.表示不可以放皇后，但是因为棋盘是从左向右的，而二进制数是从右向左的，所以sp[i]∣=(1<<(n−j))表示将第i行从左到右第j个格子置为不可放皇后。
每行需要恰好放一个皇后。不妨用数组 记录第 行的皇后的列坐标。
思路：逐行放置皇后，要保证皇后的"列坐标"，"行列坐标和"，"行列坐标差"互不相同。
用dfs实现，放置了皇后 ，用三个数组分别将 "标记"。
AC：
#include
using namespace std;
int a[30],b[30],c[30],p[30],n;
void print(){
for (int i=0;i> n;
dfs(0);
} 洛谷P1363 幻象迷宫
题目背景
（喵星人 LHX 和 WD 同心协力击退了汪星人的入侵，不幸的是，汪星人撤退之前给它们制造了一片幻象迷宫。）
WD：呜呜，肿么办啊……
LHX：momo...我们一定能走出去的！
WD：嗯，+U，+U！
题目描述
幻象迷宫可以认为是无限大的，不过它由若干个N×M 的矩阵重复组成。矩阵中有的地方是道路，用 .表示；有的地方是墙，用 #表示。LHX 和 WD 所在的位置用 S 表示。也就是对于迷宫中的一个点(x,y)，如果 (xmodn,ymodm) 是 .. 或者 SS，那么这个地方是道路；如果 (xmodn,ymodm) 是##，那么这个地方是墙。LHX 和 WD 可以向上下左右四个方向移动，当然不能移动到墙上。
请你告诉 LHX 和 WD，它们能否走出幻象迷宫（如果它们能走到距离起点无限远处，就认为能走出去）。如果不能的话，LHX 就只好启动城堡的毁灭程序了……当然不到万不得已，他不想这么做。
输入格式
输入包含多组数据，以 EOF 结尾。
每组数据的第一行是两个整数 N,M。
接下来是一个 N×M 的字符矩阵，表示迷宫里 (0,0) 到 (n−1,m−1) 这个矩阵单元。
输出格式
对于每组数据，输出一个字符串，Yes 或者 No。
输入输出样例
输入 #1
5 4
##.#
##S#
#..#
#.##
#..#
5 4
##.#
##S#
#..#
..#.
#.##输出 #1
Yes
No解题思路
当你在其中一个迷宫走到了(x,y)这个点，在另一个迷宫也走到了(x,y)这个点，你就走出去了。
所以这道题只需要在普通bfs的基础上，改变book数组的含义。
以前book数组表示(x,y)这个点是否被访问过，现在book数组有了双重含义，还表示了这个点是在哪一个迷宫中被访问的。
所以我们记录当前的实际坐标(x,y)，和在原迷宫中映射的坐标(tx,ty)=(x%n,y%m)。
对于实际坐标(x,y)，建立一个hash值f(x,y)。
当拓展到一个点时，如果(tx,ty)这个点是障碍，直接continue。
如果f(x,y)==book[tx][ty]，就表示这个点曾经来过，continue。
如果f(x,y)!=book[tx][ty]&&book[tx][ty]!=0，就表示曾经在另一个迷宫中来过这个点，走出去了。
如果book[tx][ty]==0，表示这个点没有走过，继续bfs。
f(x,y)这个函数看心情随便写就好啦，但是要注意不要和其他的f(x,y)重复。
AC：
#include
#include
#include
using namespace std;
const int MAXN = 1500 + 1;
const int dx[4] = {1, -1, 0, 0};
const int dy[4] = {0, 0, 1, -1};
int n, m;
int st_x, st_y;
int vis[MAXN][MAXN][3];
bool fl, a[MAXN][MAXN];
char ch;
void dfs(int x, int y, int lx, int ly) {
if(fl) return;
if(vis[x][y][0] && (vis[x][y][1]!=lx || vis[x][y][2]!=ly)) {
fl = 1;
return;
}
vis[x][y][1] = lx, vis[x][y][2] = ly, vis[x][y][0] = 1;
for(int i=0; i<4; ++i) {
int xx = (x + dx[i] + n) % n, yy = (y + dy[i] + m) % m;
int lxx = lx + dx[i], lyy = ly + dy[i];
if(!a[xx][yy]) {
if(vis[xx][yy][1]!=lxx || vis[xx][yy][2]!=lyy || !vis[xx][yy][0])
dfs(xx, yy, lxx, lyy); }
}
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
while(cin >> n >> m) {
fl = 0;
memset(a, 0, sizeof(a));
memset(vis, 0, sizeof(vis));
for(int i=0; i> ch;
if(ch == '#') a[i][j] = 1;
if(ch == 'S') st_x = i, st_y = j;
}
dfs(st_x, st_y, st_x, st_y);
if(fl) puts("Yes");
else puts("No");
}
return 0;
} 拓展题 ——洛谷P1236 算24点
链接——算24点 - 洛谷
题目描述
几十年前全世界就流行一种数字游戏，至今仍有人乐此不疲．在中国我们把这种游戏称为“算24点”。您作为游戏者将得到 4 个 1∼9 之间的自然数作为操作数，而您的任务是对这 44 个操作数进行适当的算术运算，要求运算结果等于 24。
您可以使用的运算只有：+,-,*,/，您还可以使用 ()来改变运算顺序。注意：所有的中间结果须是整数，所以一些除法运算是不允许的（例如，(2 ×2)/4 是合法的，2×(2/4) 是不合法的）。下面我们给出一个游戏的具体例子：
若给出的 4个操作数是：1 、 2 、 3、 7，则一种可能的解答是 1+2+3 ×7=24。
输入格式
只有一行，四个1到9之间的自然数。
输出格式
如果有解的话，只要输出一个解。输出的是三行数据，分别表示运算的步骤。
其中第一行是输入的两个数和一个运算符和运算后的结果；
第二行是第一行的结果和一个输入的数据、运算符、运算后的结果，或者是另外两个数的输出结果；
第三行是前面的结果第二行的结果或者剩下的一个数字、运算符和 =24=24。如果两个操作数有大小的话则先输出大的。
如果没有解则输出 No answer!。
如果有多重合法解，输出任意一种即可。
注：所有运算结果均为正整数。
输入 #1
1 2 3 7
输出 #1
2+1=3
7*3=21
21+3=24
解题思路
本题是经典的搜索问题。
从起点出发，我们可以枚举每一步是向哪个方向走（上/下/左/右）。
函数 表示当前走到的格子是 。到达 后，可以递归地调用dfs(x-
1,y),dfs(x+1,y),dfs(x,y-1),dfs(x,y+1)。
题目要求每个格子只能走一次，所以在dfs过程中，每次经过一个点，将这个点标记；每次递归返
回时，将标记撤销。
dfs的终止条件是走到终点。
AC：
#include
using namespace std;
int n,m,sx,sy,tx,ty,t,ans;
bool f[7][7];
void dfs(int x,int y){
if (x==tx&&y==ty){
ans++; //走到终点，终止
return;
}
f[x][y]=1; //标记(x,y)为已走过
if (!f[x-1][y]) dfs(x-1,y); //试图向四个方向走
if (!f[x+1][y]) dfs(x+1,y);
if (!f[x][y-1]) dfs(x,y-1);
if (!f[x][y+1]) dfs(x,y+1);
f[x][y]=0; //撤销标记
}
int main(){
memset(f,1,sizeof(f));
cin >> n >> m >> t;
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=m;j++)
f[i][j]=0;
cin >> sx >> sy >> tx >> ty;
for (int i=0;i> x >> y;
f[x][y]=1;
}
dfs(sx,sy);
cout << ans << endl;
return 0;
} 结尾
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如果有人想在洛谷上做题，可以点下方链接：
https://www.luogu.com.cn/
如果你喜欢或想了解一下其他的算法，可以看看以下这些：
C++小游戏：
C++：自创小游戏-CSDN博客
DFS深搜;
C++：第十一讲DFS深搜-CSDN博客
最后认识一下，我是爱编程的喷火龙廖，我们有缘再见！