【数据结构】树和二叉树堆（基本概念介绍）

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目录

 前言

 树的概念

 树的常见名词

树与非树 

二叉树

概念

满二叉树和完全二叉树

二叉树的存储结构

顺序存储

链式存储

堆

堆的性质

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 前言

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 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。**把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的**。

• ·有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
• 除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、...、Tm，其中每一个集合Ti(1<=i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 因此，树是递归定义的。

 树的常见名词

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• 结点的度:一个结点含有的子树的个数称为该结点的度;如上图:A的为6 
• 叶结点或终端结点:度为0的结点称为叶结点;如上图:B、C、H、I...等结点为叶结点
• 非终端结点或分支结点:度不为0的结点;如上图:D、E、F、G...等结点为分支结点
• 双亲结点或父结点:若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点;如上图:A是B的父结点
• 孩子结点或子结点:一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点;如上图:B是A的孩子结点
• 兄弟结点:具有相同父结点的结点互称为兄弟结点;如上图:B、C是兄弟结点
• 树的度:一棵树中，最大的结点的度称为树的度;如上图:树的度为6
• 结点的层次:从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推;
• 树的高度或深度:树中结点的最大层次;如上图:树的高度为4
• 堂兄弟结点:双亲在同一层的结点互为堂兄弟;如上图:H、I互为堂兄弟结点 
• 结点的祖先:从根到该结点所经分支上的所有结点;如上图:A是所有结点的祖先
• 子孙:以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图:所有结点都是A的子孙
• 森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林; 

树与非树 

​ 上图中，前三个都是非树。

二叉树

概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空
2. 由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。 

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从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

  注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

  

满二叉树和完全二叉树

1.满二叉树:一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k -1，则它就是满二叉树。 

2.完全二叉树:完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满子叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。（前h-1层是满的，最后一层不一定满，但从左到右必须连续）

   

满二叉树总结点数求和过程：

   

我们根据等比数列求和公式 ：a1 (1-q^n)/ (1-q)   即可求出。

由结果2^h-1我们也可以得出：假设满二叉树有N个结点，2^h-1=N,则h=log(N+1)

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假设完全二叉树高度为h，结点数量的取值范围是：[2^(h-1),2^h-1]

分析：最小值是当最后一层只有一个结点时，最大值就是一个满二叉树。最小值可以先求出前h-1层，然后加1即可，即2^(h-1)-1+1==2^(h-1)。

二叉树的存储结构

顺序存储

顺序结构存储是用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一棵二叉树。

链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表表示一棵二叉树。通常方法是链表中每个结点由三个域组成，数值域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。

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下图是顺序存储： 

父子结点间下标有一个规律：

• leftchild = parent *2+1  
• rightchild= parent*2+2
• parent=(child - 1)/2

堆

堆的性质

• 堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父节点的值
• 堆总是一棵完全二叉树

• 小堆要求：任意一个父亲<=孩子
• 大堆要求：任意一个父亲>=孩子

堆的意义：堆排序 的 时间复杂度：O(N*logN)