【Py/Java/C++三种语言OD2023C卷真题】20天拿下华为OD笔试之【博弈论DP】2023C-抢7游戏【欧弟算法】全网注释最详细分类最全的华为OD真题题解

题目描述与示例

题目描述

A、B两个人玩抢7游戏，游戏规则为A先报一个起始数字X (10），B报下一个数字Y，(0)，A再报一个数字Z(0)，以此类推，直到其中一个抢到7，抢到7即为胜者，在B赢得比赛的情况下，一共有多少种组合？

输入描述

起始数字M，如100

10<=M<=10000

输出描述

B能赢得比赛的组合次数

示例

输入

10

输出

1

说明

只有一种赢的组合，A起始选择10，B接着选择9，A接着选择8，B接着选择7赢得胜利。

解题思路

A和B每次选择的数字，只能比上一个数字小1或2，两个人所选择的数字越来越小直到降为7。这种计算组合数的问题很容易想到使用动态规划来解题。

我们考虑动态规划三部曲：

1. dp数组的含义是什么？

由于A和B两个人是交替地进行数字选择的，我们可以构建两个dp数组，dpA和dpB。

dpA[i]表示A选择了第i个数字时的方法数，dpB[i]表示B选择了第i个数字时的方法数。

2. 动态转移方程是什么？

由于两个人的选择是交替进行的，因此A的状态由先前的B转移得到，B的状态由先前的A转移得到。

当B选择了数字i时，上一轮A的选择必然是i+1或i+2。因此B选择数字i的组合数为A选择了数字i+1和i+2的组合数的总和，即存在动态转移方程dpB[i] = dpA[i+1] + dpA[i+2]。

对于A选择了数字i的情况，同理存在dpA[i] = dpB[i+1] + dpB[i+2]

由于选择是从大到小进行的，因此必须从M-1开始进行逆序遍历，直到选择了7。即

for i in range(M-1, 6, -1):
    dpB[i] = dpA[i+1] + dpA[i+2]
    dpA[i] = dpB[i+1] + dpB[i+2]

print(dpB[7])

最终dpB[7]就是B抢到了7赢得最终胜利的方法数。

3. dp数组如何初始化？

由于dp过程是从M-1开始的，当i = M-1时，需要使用到i+2 = M+1这个值，因此可以初始化dpA和dpB数组均为长度为M+2的一维数组（或哈希表也可以，因为小于7的那些位置实际上是没有用到的）。

由于A最开始报的数字是M，换句话说A取得数字M的方法数只有1种，因此初始化dpA[M] = 1，其余位置均初始化为0。即

dpA = [0] * (M+2)
dpB = [0] * (M+2)
dpA[M] = 1

上述过程用到了两个dp数组，看起来似乎比较冗长。

实际上可以把两个动态转移方程进行合并，只得到一个关于dpB的动态转移方程。将

dpA[i+1] = dpB[i+2] + dpB[i+3]和dpA[i+2] = dpB[i+3] + dpB[i+4]代入dpB[i] = dpA[i+1] + dpA[i+2]，可以得到新的动态转移方程dpB[i] = dpB[i+2] + 2*dpB[i+3] + dpB[i+4]，这样就只需要一个dpB数组和一个动态转移方程即可。

整体的代码修改为

M = int(input())

dpB = [0] * (M+2)
dpB[M-1] = 1
dpB[M-2] = 1

for i in range(M-3, 6, -1):
    dpB[i] = dpB[i+2] + 2*dpB[i+3] + dpB[i+4]

print(dpB[7])

代码

Python

# 题目：【DP】2023C-抢7游戏
# 分值：100
# 作者：许老师-闭着眼睛学数理化
# 算法：DP
# 代码看不懂的地方，请直接在群上提问


# 输入A的初始报数
M = int(input())

# 初始化dpA和dpB两个初始数组
dpA = [0] * (M+2)
dpB = [0] * (M+2)
dpA[M] = 1

# dp过程，从M-1开始遍历，到7结束
for i in range(M-1, 6, -1):
    dpB[i] = dpA[i+1] + dpA[i+2]
    dpA[i] = dpB[i+1] + dpB[i+2]

# 输出dpB[7]即为最终答案
print(dpB[7])

Java

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);

        // 输入A的初始报数
        long M = scanner.nextLong();

        // 初始化dpA和dpB两个初始数组
        long[] dpA = new long[(int) (M + 2)];
        long[] dpB = new long[(int) (M + 2)];
        dpA[(int) M] = 1;

        // dp过程，从M-1开始遍历，到7结束
        for (int i = (int) (M - 1); i >= 6; i--) {
            dpB[i] = dpA[i + 1] + dpA[i + 2];
            dpA[i] = dpB[i + 1] + dpB[i + 2];
        }

        // 输出dpB[7]即为最终答案
        System.out.println(dpB[7]);
    }
}

C++

#include 
using namespace std;

int main() {
    // 输入A的初始报数
    long long M;
    cin >> M;

    // 初始化dpA和dpB两个初始数组
    long long dpA[M + 2] = {0};
    long long dpB[M + 2] = {0};
    dpA[M] = 1;

    // dp过程，从M-1开始遍历，到7结束
    for (int i = M - 1; i >= 6; i--) {
        dpB[i] = dpA[i + 1] + dpA[i + 2];
        dpA[i] = dpB[i + 1] + dpB[i + 2];
    }

    // 输出dpB[7]即为最终答案
    cout << dpB[7] << endl;

    return 0;
}

时空复杂度

时间复杂度：O(N)。

空间复杂度：O(N)。

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