控制理论中的几种稳定性

1、李雅普诺夫稳定性 (Lyapunov Stable)

1.1 概念

是一种局部稳定性
这一部分是DR_CAN 【Advanced控制理论】6_稳定性_李雅普诺夫_Lyapunov学习笔记
李雅普诺夫稳定性定义：对于$\forall t_0>0,$ $\forall ϵ>0,$ $\exists \delta (t_0,ϵ)$， 满足$\Vert x(t_0)\Vert <\delta (t_0,ϵ)$， 若对于$\forall t>t_0$， 都存在$\Vert x(t)\Vert <ϵ$， 则系统李雅普诺夫稳定。
汉译汉：如果平衡状态$x_e$受到扰动后，$t_0$时刻系统动态方程的解在$x_e$的$\delta$邻域内，对$t_0$时刻之后的时间，系统动态方程的解在$x_e$的$ϵ$邻域内，我们就称$x_e$在李雅普诺夫意义下是稳定的。
特征值：所有特征值实部非正。
DR_CAN的讲解中，用下图直观地说明了它的性质。

1.2 解法

常用的是李雅普诺夫第二方法，即直接方法。
对于一个系统 $\dot{x}=f(x)$， 其稳定点为 $x_e=0$ 。若存在$V(x)$，满足
$$\begin{gathered} (1)V(0)=0 \\ (2)V(x)\ge 0，V(x)PSDinD-\{0\} \\ (3)\dot{V}(x)\le 0，\dot{V}(x)NSDinD-\{0\} \end{gathered}$$
则系统李雅普诺夫稳定。
PSD：Positive Semi Definite 半正定
NSD：Negative Semi Definite 半负定

2、渐进稳定性 (Asympototically Stable)

2.1 概念

渐进稳定性定义：对$\exists \delta (t_0)>0$， 当$x(t_0)$满足$\Vert x(t_0)\Vert <\delta (t_0)$时，有$\underset{t\to \infty }{\lim }$$\Vert x(t)\Vert =0$，系统渐进稳定。
特征值：所有特征值实部为负。
DR_CAN的讲解中，用下图红色线直观地说明了它的性质。

2.2 解法

对于一个系统 $\dot{x}=f(x)$， 其稳定点为 $x_e=0$ 。若存在$V(x)$，满足
$$\begin{gathered} (1)V(0)=0 \\ (2)V(x)>0，V(x)PDinD-\{0\} \\ (3)\dot{V}(x)<0，\dot{V}(x)NDinD-\{0\} \end{gathered}$$
则系统渐进稳定。
难点是找$V(x)$。

3、指数稳定性 (Exponentially Stable)

指数稳定：如果系统平衡状态 $x_e$是渐近稳定的，且状态轨迹收敛到平衡点的速度大于等于某个关于$t$的指数函数，则称平衡状态$x_e$是指数稳定的。