Transformation

Transformation

笔记来源：GAMES101-现代计算机图形学入门-闫令琪

1. Why do we study transformation?

Modeling Transformation（模型变换）、Viewing Transformation（视图变换）
Modeling：translation

Modeling：rotation

Modeling：scaling

Viewing：（3D to 2D）projection

2. 2D Transformations

representing transformations using matrices

rotation、scale、shear

2.1 Scale Transform

Scale Transform
$$\begin{gathered} x^{\prime }=sx \\ {y}^{\prime }=sy \end{gathered}$$
Scale Matrix

2.2 Reflection Transform

Reflection Matrix

2.3 Shear Transform

Shear Matrix

2.4 Rotation Transform

2.5 Linear Transform

Linear Transforms = Matrices （of the same dimension）

2.6 Inverse Transform

Inverse Transform

2.7 Composite Transform

Composite Transform（组合变换）


变换顺序很重要，由于矩阵乘法一般不满足交换律 $A\cdot B\ne B\cdot A$
从右向左变换

多次变换，可以从$A_1$到$A_n$先乘起来得到一个矩阵，让这个矩阵乘向量，把向量做变换

2.8 Decomposing Complex Transform

移动图形使得其某一点处于原点，对其进行旋转操作，最后再次移动会原来位置

3. Homogeneous Coordinate

translation


无法使用一个矩阵表示平移变换（不是线性变换），由此引入齐次坐标，使得平移变换可以用一个矩阵表示

齐次坐标中若写1则表示该向量表示点，若写0则表示该向量表示向量


齐次坐标下点+点=两点间中点

Affine Transformation（仿射变换）

齐次坐标下的二维变换的各种变换矩阵

4. 3D Transformations

类比 2D Transformation

变换顺序：先应用线性变换后平移

4.1 Scaling，Translation

缩放变换与平移变换

4.1 Rotation

4.1.1 Fixed axes

绕固定轴旋转
xyzxyz
x叉乘y得到z，则$R_x、R_y、R_z$内四个三角函数位置都一样
xyzxyz
x叉乘z得到-y，$R_y$与$R_x、R_z$内四个三角函数位置不一样

4.1.2 Euler

绕任意轴的旋转可以分解为绕三轴的旋转

4.1.3 Rodrigues

本人博客：罗德里格斯公式推导

若轴$n$不经过原点，我们可以先将其移动到原点，经过旋转操作后，再将其移动到初始位置

N是叉乘的矩阵形式为反对称矩阵
$a=(a_1，b_1，c_1{)}^T$、$b=(a_2，b_2，c_2{)}^T$
c ⃗ = a ⃗ × b ⃗   = ∣ i j k a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 ∣   = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 − ( a 1 b 3 − a 3 b 1 ) a 1 b 2 − a 2 b 1 )   = ( 0 − a 3 a 2 a 3 0 − a 1 − a 2 a 1 0 ) ( b 1 b 2 b 3 ) \vec{c}=\vec{a}×\vec{b}\\ ~\\ =\left | \begin{matrix} i & j & k \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ \end{matrix} \right | \\ ~\\ =\begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2\\ -(a_1b_3-a_3b_1)\\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}\\ ~\\ =\begin{pmatrix} 0 & -a_3 & a_2\\ a_3 & 0 & -a_1\\ -a_2 & a_1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix} c =a ×b  = ​ia1​a2​​jb1​b2​​kc1​c2​​ ​ = ​a2​b3​−a3​b2​−(a1​b3​−a3​b1​)a1​b2​−a2​b1​​ ​ = ​0a3​−a2​​−a3​0a1​​a2​−a1​0​ ​ ​b1​b2​b3​​ ​

4.1.4 Quaternion

四元数的引入更多是为了旋转与旋转之间的插值
本人博客：四元数公式推导

5. Viewing transformation（观测变换）

5.1 View（视图）/Camera transformation

Model transformation、View transformation、Projection transformation 简称MVP变换

相机位置、相机镜头朝向、相机镜头垂直方向（如果相机旋转则拍出照片不一样，所以需要用此方向标识）

相机和所拍摄物体如果同时做相同变换，则拍摄的照片相同，所以将相机固定在原点

利用view变换矩阵将相机变换到原点，使其三轴方向与坐标系吻合


先平移后旋转，但这个由这个etg三轴旋转到xy-z不好求，但我们可以反过来思考，由xy-z旋转到etg的方向，然后求逆得到etg旋转到xy-z方向的旋转矩阵（正交矩阵的逆为其转置）

5.2 Projection（投影）transformation

正交投影并没有近大远小特点，而透视投影有此特点

透视投影中相机离物体近，正交投影中相机离物体无限远

5.2.1 Orthographic（正交） projection

物体在长方体（空间）内，将物体（包含其内的物体）平移到原点（物体中心与原点重合），缩放长方体（包含其内的物体）各边为2（由于标准的cube边范围为[-1,1]），经过变换后长方体内的物体，然后进行正交投影（从z轴看向负方向），此时的投影是被拉伸过的，把投影再作视口变换（缩放到屏幕宽高），最终得到正确的投影
为什么要把物体放到cube中？因为只有缩放到[-1,1]范围内，屏幕上物体才能显示完全
下图中x=l（left plane）、x=r（right plane）、y=b（bottom plane）、y=t（top plane）、z=n（near plane）、z=f（far plane）

5.2.2 Perspective（透视）projection

透视投影近大远小，平行线不再平行，收敛到同一个点



定义视锥Frustum需要可视角度、宽高比
视场角FOV：你所能看到的视野范围，此范围用宽高定义

下图来自：视锥体剔除（Frustum Culling）算法详解

给定FOV和宽高比就能得到l，r，b，t（各个平面的部分坐标值）
x=l（left plane）、x=r（right plane）、y=b（bottom plane）、y=t（top plane）、z=n（near plane）、z=f（far plane）

类比正交投影，我们也定义near plane 和 far plane
透视投影过程：将视锥Frustum挤压为Cuboid，随后进行正交投影
物体在视锥Frustum内部，挤压Frustum的同时，物体也被挤压

物体在视锥Frustum内部，挤压Frustum的同时，物体也被挤压，挤压过程中near plane上的所有点不变，far plane的中心点位置不变，z坐标不变，y坐标变，而在n与f plane之间的点(x，y，z)坐标均变化，也就是物体上的点坐标均变化

在挤压过程中near plane上所有点坐标均不变，far plane上z坐标不变
（1）我们先来看看从near plane上所有点坐标均不变这条信息能够让我们得知有关M矩阵的哪些信息？
near平面上点的坐标齐次形式$(x,y,n,1{)}^T$挤压过程中不变仍为$(x,y,n,1{)}^T$，齐次坐标乘n后$(nx,ny,n^2,n{)}^T$仍表示三维空间点$(x,y,z)$
$M_{\text{persp->ortho}}\cdot (nx,ny,n^2,n{)}^T=(nx,ny,n^2,n{)}^T$（矩阵第三行与坐标相乘结果为$n^2$）
$M_{\text{persp->ortho}}$的第三行形式为$(0,0,a,b)$
$(0,0,a,b)\cdot (x,y,n,1{)}^T=n^2$
得到式子：$an+b=n^2$

（2）接下来我们看看far plane上z坐标不变这条信息能够让我们得知关于M矩阵的哪些信息？
far平面z坐标的值为$f$，far 平面上中心点的坐标齐次形式$(0,0,f,1{)}^T$将其乘f得到$(0,0,f^2,f{)}^T$
$M_{\text{persp->ortho}}\cdot (0,0,f^2,f{)}^T=(0,0,f^2,f{)}^T$（矩阵第三行与坐标相乘结果为$f^2$）
$M_{\text{persp->ortho}}$的第三行形式为$(0,0,a,b)$
$(0,0,a,b)\cdot (0,0,f^2,f{)}^T=f^2$
得到式子：$af+b=f^2$
$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}an+b=n^2\\ af+b=f^2\end{array} \\ a=n+f、b=-nf \end{gathered}$$
最终
M persp->ortho = ( n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 0 1 ) M_{\text{persp->ortho}}=\left( \begin{array} {cccc} n&0&0&0\\ 0&n&0&0\\ 0&0&n+f&-nf\\ 0 & 0& 0&1 \end{array} \right) Mpersp->ortho​= ​n000​0n00​00n+f0​00−nf1​ ​
挤压完成后，下一步进行正交投影$M_{\text{ortho}}$

透视投影矩阵
M perp = M ortho M persp->ortho   = ( 2 r − l 0 0 − r + l r − l 0 2 t − b 0 − t + b t − b 0 0 2 n − f − n + f n − f 0 0 0 1 ) ( n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 0 1 )   M perp = ( 2 n r − l 0 l + r l − r 0 0 2 n t − b b + t b − t 0 0 0 n + f n − f 2 f n f − n 0 0 1 0 ) M_{\text{perp}}=M_{\text{ortho}}M_{\text{persp->ortho}}\\ ~\\ =\left( \begin{array} {cccc} \frac{2}{r-l}&0&0&-\frac{r+l}{r-l}\\ 0&\frac{2}{t-b}&0&-\frac{t+b}{t-b}\\ 0&0&\frac{2}{n-f}&-\frac{n+f}{n-f}\\ 0 & 0& 0&1 \end{array} \right) \left( \begin{array} {cccc} n&0&0&0\\ 0&n&0&0\\ 0&0&n+f&-nf\\ 0 & 0& 0&1 \end{array} \right)\\ ~\\ M_{\text{perp}}=\left( \begin{array} {cccc} \frac{2n}{r-l}&0&\frac{l+r}{l-r}&0\\ 0&\frac{2n}{t-b}&\frac{b+t}{b-t}&0\\ 0&0&\frac{n+f}{n-f}&\frac{2fn}{f-n}\\ 0 & 0& 1&0 \end{array} \right) Mperp​=Mortho​Mpersp->ortho​ = ​r−l2​000​0t−b2​00​00n−f2​0​−r−lr+l​−t−bt+b​−n−fn+f​1​ ​ ​n000​0n00​00n+f0​00−nf1​ ​ Mperp​= ​r−l2n​000​0t−b2n​00​l−rl+r​b−tb+t​n−fn+f​1​00f−n2fn​0​ ​
视口变换矩阵
M viewport = ( width 2 0 0 width 2 0 height 2 0 height 2 0 0 1 0 0 0 0 1 ) M_{\text{viewport}}=\left( \begin{array} {cccc} \frac{\text{width}}{2}&0&0&\frac{\text{width}}{2}\\ 0&\frac{\text{height}}{2}&0&\frac{\text{height}}{2}\\ 0&0&1&0\\ 0 & 0& 0&1 \end{array} \right) Mviewport​= ​2width​000​02height​00​0010​2width​2height​01​ ​
综上：将空间中任意物体在屏幕上显示的变换矩阵M（MVP变换）
$$M=M_{\text{view}}{M}_{\text{perp}}{M}_{\text{cam}}{M}_{\text{model}}$$
$M_{\text{model}}$将3D物体移动到某个位置（modeling transformation）
$M_{\text{cam}}$相机选择合适角度（Camera transformation）
$M_{\text{perp}}$视锥Frustum中的物体 变换为 标准立方体canonical cube中的物体（Projection transformation中的Perspective transformation）
$M_{\text{view}}$视口变换主是将视景体内投影的物体显示到二维的视口平面上（Viewport transformation）