线性代数笔记26

对称矩阵及对称性

对称矩阵

1. 特征值都是实数
2. 特征向量都是垂直的（正交的）

则通常

则对称矩阵可以写为

为什么特征值为实数

证明：

则有，取共轭

这里取转置，利用假设（）
(2)式右乘x得到：

可得：

所以只要不为零，则有等于它的共轭，则为实数，得证。
对于实矩阵，
如果式复数矩阵，需要满足

求特征值太难，但是求主元却简单很多
而，矩阵的特征值的符号，和主元的符号一一对应
这提供了一种计算特征值的方法，至少是缩小范围的，你能知道多少个为正，多少个为负
主元的乘积就是特征值的乘积，就是行列式的值

正定矩阵

对称矩阵，（1所有主元都是正的，2特征值都为正数的矩阵，3所有的子行列式都为正），称为正定矩阵
而这三个条件是等价的