在做平方数求和“1²+2²+3²+···+n²”时，如果有可(tao)爱(yan)的小学生问“n(n+1)(2n+1)/6”这个公式怎么来的，你有没有什么办法给他讲懂呢？
证明方法倒是很多——高次相邻项相减累加法、Abel恒等变换、四棱锥立方体法、待定系数法、扰动法……
但作为一名小学数学老师，⑨老师和众多老师一样，认为“踢三角”才是最最最适合小学生的证明方法.
该方法简单直观，并能让小学生充分体会到“数形结合”的奇妙……
看到这，你可能已经预判到⑨老师要画三角形并开始讲那个“踢一脚”“再踢一脚”的“踢三角大法”了——
非也！
不必踢两脚，叠起来更好——
——确认过眼神，这是干货文~
以下是⑨老师的原创内容：把“踢三角”改造为“RGB叠三角”！
“RGB叠三角”其实是“高斯倒序相加求和法”的进阶版.
既然我们愿意不厌其烦地给孩子讲“高斯小时候巧妙地计算从1加到100”的故事，那就更应该“好人做到底”.
有关“RGB叠三角”的正确学习方式应分为以下三阶段——
①高斯求和→②平方数求和→③自然数乘等差数求和.
○△△△△
○○△△△
○○○△△
○○○○△
(1+2+3+4)+(4+3+2+1)=(1+4)+(2+3)+(3+2)+(4+1)
以上是高斯求和：将原式copy一份然后倒序相加，会看到“项项相等”的奇妙现象！
而平方数求和“1²+2²+3²+4²”可以认为是“1×1+2×2+3×3+4×4”，即——
1
22
333
4444
如果还是模仿高斯求和将原式copy一份然后倒序相加——
14444
22333
33322
44441
(⊙o⊙)…呃~
以上每行并不相等……失败.
这是因为平方数求和的第n项“n²”随序号n呈现平方式增加，变得“头更轻脚更重”.
既然复制一份倒序相加不再有效，那就超级加倍——复制两份，并把——
1
22
333
4444
写在三张透明的三角形塑料片上——
一张红色半透明塑料片名为R，一张绿色半透明塑料片名为G，一张蓝色半透明塑料片名为B，将R、G、B上面的三角形数表的“1”分别朝三个不同方向并上下重叠在一起——
就会出现高斯求和中“项项相等”的现象——
R、G、B重叠后三角形数表的每个位置都叠放有三个数，且每个位置的三个数之和都等于“1+4+4”.
以上那些“相等的和”一共有“1+2+3+4”个，所以——
R+G+B=(1+4+4)×(1+2+3+4)
又因为R=G=B=1²+2²+3²+4²，所以——
1²+2²+3²+4²
=(1+4+4)×(1+2+3+4)/3
=(1+4×2)×[(1+4)×4/2]/3
=(1+4×2)×4×(4+1)/6
如果把上式中的“4”推广到“n”，则有——
1²+2²+3²+···+n²
=(1+2n)n(n+1)/6
=n(n+1)(2n+1)/6
以上是平方数求和公式的“RGB叠三角”证明法.
还没完，接下来我们继续介绍——
“自然数乘等差数”的求和方法.
（自然数乘等差数即自然数列1~n与等差数列A1~An序号相等的每一项相乘再求和.）
设R=G=B=1×1+2×3+3×5+4×7，则有——
仍然会出现高斯求和中“项项相等”的现象——
R、G、B重叠后的三角形数表的每个位置都叠放有三个数，且每个位置的三个数之和都等于“1+7+7”.
以上那些“相等的和”一共有“1+2+3+4”个，所以——
R+G+B=(1+7+7)×(1+2+3+4)
又因为R=G=B=1×1+2×3+3×5+4×7，所以——
1×1+2×3+3×5+4×7
=(1+7+7)×(1+2+3+4)/3
=(1+7×2)×[(1+4)×4/2]/3
=(1+7×2)×4×(4+1)/6
如果把上式中的“4”推广到“n”，另设“An”为等差数列第n项，设“A1”为等差数列首项，则有——
1×1+2×3+3×5+···+n×An
=(A1+2An)n(n+1)/6
=n(n+1)(2An+A1)/6
以上就是“自然数乘等差数”的求和公式，特别地，当An=n时，以上公式退化为——
n(n+1)(2n+1)/6
没错，平方数求和公式其实是“自然数乘等差数”求和公式的特殊情况.
最后⑨老师想说的是，数学证明往往是给看似不相关的两样东西画上等号——这是非常需要灵感的.
灵感通常被描述为一瞬间打开了纵观全局的上帝视角.
这种视角，往往是把概念、数据、符号、算式图形化、结构化、等量转化——
这也是为什么⑨老师推荐大家多多去体会“数形结合”，比如金字塔数求和——
1+2+3+4+3+2+1=？
一个4×4的点阵，从正常角度来看它就是4行4列即“4+4+4+4”，而按照斜线来求和却是“1+2+3+4+3+2+1”，于是我们把“同一数量的两种不同表达用等号连接”：
1+2+3+4+3+2+1=4×4
要知道，数学最重要的就是各种等式，而神奇公式等号连接的两侧，几乎都是我们认为风马牛不相及的东西——