匹配滤波器的仿真——线性调频信号

1.使用线性调频信号的原因

• 线性调频信号的特点在于频率会随时间变化，所以作为测试信号可以测试不同频率的状态。

2.从一般信号推导出线性调频信号的时域表达式

• 推导原则：根据频率随时间变化的特点就可以推导出线性调频信号的时域表达式。

• 对于一个一般信号，其表达式为 $x(t)=A\cos ({\omega }_{0}t+\varphi )$。从这个表达式中得到相位是 $\theta (t)={\omega }_{0}t+\varphi$，这是一个线性相位，并且注意有 $$\omega (t)=\frac{d\theta (t)}{dt}$$把这个相位修改成二次相位，即 $\theta (t)=2\pi \alpha t^2+2\pi f_{0}t+\varphi$，其中 $\alpha$ 是一个常数，这样 $\omega (t)$ 就变成了$$\omega (t)=\frac{d\theta (t)}{dt}=4\pi \alpha t+2\pi f_0$$ 相应的 $f(t)=2\alpha t+f_0$ 。可以看到这实现了一个频率随时间的变换而变换的效果。假设初始频率是 $f_0$ ，信号持续时间为 $T$，并且此时的终止频率为 $f_1$。

  

  可以得到斜率 $k=2\alpha =\frac{f_1-f_0}{T}$，这样就可以将上式写成 $$\omega (t)=\frac{d\theta (t)}{dt}=2\pi (kt+f_0)$$
  进而可以求出
  $$\begin{array}{rl}\theta (t)=\int \omega (t)dt& =2\pi \int (kt+f_0)dt\\ & =2\pi (\frac{k{t}^2}{2}+f_{0}t)+{\varphi }_0\\ & =2\pi (\frac{kt}{2}+f_0)t+{\varphi }_0\end{array}$$
  由此可得到 chirp 信号的表达式（三角函数形式）：
  $$x(t)=A\cos [2\pi f_c(t)t+{\varphi }_0]f_c(t)=\frac{kt}{2}+f_0$$

3.代码仿真

• 假定信号带宽 B = 20MHZ，信号时宽 T = 10$\mu$s，信号的采样频率 $F_s$ = 50MHz，起始频率为 0Hz。
• 线性调频信号的生成函数：

  function signal = chirp_signal(t,f0,f1,phase)
  % t表示信号产生的全部时间（一个序列）
  % f0表示起始时刻的信号频率，f1表示终止时刻的信号频率
  % phase 表示初始相位，默认为 0 
  if nargin == 3
      phase = 0;
  end
  t0 = t(1);
  t1 = t(end);
  T = t1 - t0;
  k = (f1-f0)/T;
  signal = cos(2*pi*(k/2 * t + f0).*t +  phase);
  end
  

• 线性调频信号的仿真：

  clear;clc;
  close all;
  TimeWidth = 10e-6;%信号时宽
  BandWidth = 20e6; %信号带宽
  Fs = 50e6;%采样频率，注意需要满足奈奎斯特频率
  sample_dot_num = round(TimeWidth * Fs);%表示采样点的个数
  
  f0 = 0;%初始频率
  f1 = f0 + BandWidth;%终止频率
  t=0:1/Fs:TimeWidth;%根据结束时间生成时间序列
  signal = chirp_signal(t,f0,f1);
  subplot(211)
  plot(t*1e6,signal);
  xlabel('时间/us');
  title('线性调频信号');
  grid on;
  
  freq = (0:sample_dot_num)/sample_dot_num*Fs;
  subplot(212)
  plot(freq*1e-6,fftshift(abs(fft(signal))));
  xlabel('频率/MHz');
  title('线性调频信号的幅频特性');
  grid on;
  

• 仿真结果