Day 44 动态规划 6

K52. 完全背包

代码随想录

 1. 思路

（1）dp数组定义以及更新模式

完全背包和01背包的区别可以从展开的二维背包中看出来：

01背包：

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i-1][j - weights[i - 1]] + values[i - 1])

完全背包：

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weights[i - 1]] + values[i - 1])

区别就在i-1上。在保持原状不变的情况下，结论是一样的。但是，在放入第i-1个物品的情况下，如果是01背包，则这个物品是唯一的，所以要退回i-1这一行，寻找最优。但在完全背包的情况下，由于这个物品并非唯一，所以要在第i行寻找。

相当于，在完全背包的情况下，两种分类变成了，不放入这个物品，以及放入1-无穷个这个物品，分别的取值进行比较。

（2）dp数组的压缩以及遍历方式

如果将二维数组压缩成一维数组，在01背包的情况下，由于是i-1到i的映射，每一次更新需要这个位置保持上一轮不变。因此，[j - weights[i - 1]]不能被覆盖，要从后向前遍历。如果是完全背包，存在本轮次i到i的映射，相当于在本轮次，j的值取决于[j - weights[i - 1]]的值，要从前到后遍历。

理解一下，在01背包中，每一轮j的遍历，相当于从i-1的状态下更新，也就是说第i个物品只能用一次，而在完全背包中，每一轮j的遍历，第i个物品可以多次叠加，在限制扩大的时候，可以存在多次累加的情况，因此要从i状态更新。

（3）一维dp数组的ij遍历顺序

在01背包中，每个元素的位置取决于上一个物品j-weight[i]的位置，所以必须先i再j。

在完全背包中，元素的个数可以叠加，因此都是从前到后的状态，没有保留前置位置的需求，因此先i和j的遍历顺序无关紧要。

// 先遍历物品，在遍历背包
void test_CompletePack() {
    vector weight = {1, 3, 4};
    vector value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    vector dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_CompletePack();
}

518. 零钱兑换

代码随想录

 1. 思路

这道题是很典型的完全背包，只不过最优化目标改编成了累加个数。借鉴之前的结论，dp数组更新逻辑为：

dp[j] += dp[j - coins[i]];

但是，注意i和j的遍历顺序不能变，必须是先i后j。这是因为这道题的要求是排列个数，也就是说顺序不同的算作一种。如果先遍历背包，则会出现15和51两种情况。因此，一定要在外侧循环遍历元素，致使元素呈现顺序排列，去重。

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector& coins) {
        vector dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

377. 组合总和4

代码随想录

1. 解法

这道题和上一题的唯一区别为，求解的是排列，因此，15和51是两种。因此，遍历顺序应该为：

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector& nums, int target) {
        vector dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品
                if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
};