2021-08-26-01
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P022 习题10)
在内部给定三点、、,使得,.求证:、、三线共点的充分必要条件是.
证明
图1
如图,记,,,.
对分别与点、、应用角元塞瓦定理有
,
,
将三式相乘并整理得
.
即,,.
由角元Ceva定理及其逆定理知,、、共线的充要条件是,即.
2021-08-26-02
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P022 习题11)
以的三边各为一边,分别在形外作、、,使得,,.求证:、、三线共点.
证明
图2
如图,记,,.
关于分别与点、、应用角元塞瓦定理有
.
则.
同理,,
以上三式相乘得.
由角元Ceva定理的逆定理知结论成立.
2021-08-26-03
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P022 习题12)
锐角内接于圆,分别过点、作圆的切线,并分别交过点所作圆的切线于点、,为边上的高.求证:平分.
证明
图3
如图,记,.只需证明.
因为、、都是圆的切线,所以,
,
.
对和点应用角元塞瓦定理有
同理,对和点应用角元塞瓦定理又有
.
所以,.
因此,,即平分.
2021-08-26-04
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P022 习题13)
在四边形中,对角线平分.在上取一点,与相交于,延长交于.求证:.
证明
考虑直线截,由梅氏定理知
.
设,,,则
,,.
所以,,
,
,显然,.
图4