高中奥数 2021-08-26

2021-08-26-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角形中的几个重要定理及其应用 P022 习题10）

在内部给定三点、、,使得,.求证:、、三线共点的充分必要条件是.

证明

图1

如图,记,,,.

对分别与点、、应用角元塞瓦定理有

$1=\dfrac{\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC}\cdot \dfrac{\sin \angle ACD}{\sin \angle DCC}\cdot \dfrac{\sin \angle CBD}{\sin \angle DBA}=\dfrac{\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC}\cdot \dfrac{\sin x}{\sin \left(C-x\right)}\cdot \dfrac{\sin \left(B-\beta\right)}{\sin \beta}$ ,

$1=\dfrac{\sin \angle ACF}{\sin \angle FCB}\cdot \dfrac{\sin \angle CBF}{\sin \angle FBA}\cdot \dfrac{\sin \angle BAF}{\sin \angle FAC}=\dfrac{\sin \angle ACF}{\sin \angle FCB}\cdot \dfrac{\sin \beta}{\sin \left(B-\beta\right)}\cdot \dfrac{\sin \left(A-\alpha\right)}{\sin \alpha}$ ,

$1=\dfrac{\sin \angle CBE}{\sin \angle EBA}\cdot \dfrac{\sin \angle BAE}{\sin \angle EAC}\cdot \dfrac{\sin \angle ACE}{\sin \angle ECB}=\dfrac{\sin \angle CBE}{\sin \angle EBA}\cdot \dfrac{\sin \alpha}{\sin \left(A-\alpha\right)}\cdot \dfrac{\sin \left(C-y\right)}{\sin y}$

将三式相乘并整理得

$1=\frac{\sin \angle B A D}{\sin \angle D A C} \cdot \frac{\sin \angle A C F}{\sin \angle F C B} \cdot \frac{\sin \angle C B E}{\sin \angle E B A}=\frac{\sin (C-x)}{\sin x} \cdot \frac{\sin y}{\sin (C-y)}$ .

即,,.

由角元Ceva定理及其逆定理知,、、共线的充要条件是,即.

2021-08-26-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角形中的几个重要定理及其应用 P022 习题11）

以的三边各为一边,分别在形外作、、,使得,,.求证:、、三线共点.

证明

图2

如图,记,,.

关于分别与点、、应用角元塞瓦定理有

则.

同理,,

以上三式相乘得.

由角元Ceva定理的逆定理知结论成立.

2021-08-26-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角形中的几个重要定理及其应用 P022 习题12）

锐角内接于圆,分别过点、作圆的切线,并分别交过点所作圆的切线于点、,为边上的高.求证:平分.

证明

图3

如图,记,.只需证明.

因为、、都是圆的切线,所以,

对和点应用角元塞瓦定理有

$\begin{aligned} 1 &=\frac{\sin \angle A D M}{\sin \angle M D B} \cdot \frac{\sin \angle D B M}{\sin \angle M B A} \cdot \frac{\sin \angle B A M}{\sin \angle M A D} \\ &=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\sin (B+C)}{\sin \angle M A D} \\ &=\tan \alpha \cdot \frac{\sin (B+C)}{\sin \angle M A D} \end{aligned}$

同理,对和点应用角元塞瓦定理又有

所以,.

因此,,即平分.

2021-08-26-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角形中的几个重要定理及其应用 P022 习题13）

在四边形中,对角线平分.在上取一点,与相交于,延长交于.求证:.

证明

考虑直线截,由梅氏定理知

设,,,则

,,.

所以,,

,显然,.

图4

高中奥数 2021-08-26

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