立体几何之目：2016年文数全国卷A题18

2016年文数全国卷A题18（12 分）

如图，已知正三棱锥 的侧面是直角三角形，. 顶点 在平面 内的正投影为点 在平面 内的正投影为点 ，连接 并延长交 于点

（Ⅰ）证明∶ 是 的中点;

（Ⅱ）在图中作出点 在平面 内的正投影（说明作法及理由），并求四面体 的体积.

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【解答第1问】

2016文数A18

由已知条件可知： 是正三角形； 点 是 的中心. 面 , 面 .

∵ 面 , 面 , ∴ ,

∵ 面 , 面 , ∴ , 而 ,

∴ 面 .

又∵ 面 , ∴

又∵ , ∴ 是 的中点. （三线合一）

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【解答第2问：思路一】

作 中点 , 并连接 .

∵ 是 中点， 是 的中点, ∴ 是 的中位线，

∵ 正三棱锥 的侧面是直角三角形，∴ ,

∴ .

∵ 点 是点 在平面 内的正投影点，∴ , ∴ , ∴

∵ 点 是点 在平面 内的正投影点，∴ , ∴ , ∴

∴ .

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以点P为原点建立坐标系

【解答第2问：思路二】

∵ 正三棱锥 的侧面是直角三角形，∴ .

以点 为原点，分别以 为 轴，建立空间直角坐标系. 因为 , 所以 三点的坐标分别为：.

点 是 的中心，其坐标为

点 是点 在 平面（平面 ）上的正投影，其坐标为 ;

点 是点 在 平面（平面 ）上的正投影，其坐标为 ;

所以，点 就在棱 上，且 .

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【提炼与提高】

这是一个非常有意思的考题。2010至2015年间的全国卷给人留下这样的印象：理科的立体几何大题经常需要动用向量工具解决；文科题几乎从来用不到向量工具。

2016年这个文科题，如果不用向量也是可以解决的。但是，如果用向量来解决却显得格外地简洁。

另外，在多数题目中，总有一个坐标轴是竖直的，总有一个坐标平面是水平的。无形中会千万一种思维定势。这个题打破了这样一种思维定势。坐标平面不一定是水平的， 轴也可以是斜着的。关键是：三个坐标轴必须是两两垂直的；而且选择坐标轴时应该尽可能地降低计算量。

由1个等边三角形与3个等腰直角三角形围成的四面体，是很常见的一种四面体，在高考中出场率极高。一定要把它玩熟。

这样一个四面体的特点是：有三条棱长度相等，而且两两垂直。它可以认为是从正六面体上切下来的四面体。

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【回归教材】

请参考以下课本题：人教版《数学-必修2》第二章复习参考题B组第2题（p79）.

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