day06 动态规划 背包九讲

day06(算法精析)

前言:每日更新!不断更!,周内一天一题.周末算法精析

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动态规划

背包九讲

状压DP

树形DP

数位DP

背包九讲

✨01背包

✍[题目]:有N件物品,可以放进一个容量为W的背包,第i件物品的体积是w[i];价值是v[i];怎么放使得背包里面的总价值最大?

✍[特点]:每个物品只选择一次or不选

✍[思路]:问题化小,当N=1,很好判断怎么放,N=2,N=3…所以可以确定我们的dp[i] [j]表示在有i件物品,容量为j时的最大价值.

那么状态方程可以写为

❗抱歉写的时候没注意,我这里写的v[i]是体积,w[i]是价值和题写反了

import java.util.Scanner;

public class a01背包 {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt();
        int[] w=new int[n+1];
        int[] v=new int[n+1];
        for (int i = 1; i < n+1; i++) {
            v[i]=sc.nextInt();
            w[i]=sc.nextInt();
        }
        int[][] dp=new int[n+1][m+1];
        for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
            for (int j = 1; j < m + 1; j++) {
                if (j<v[i]){
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];
                }else {
                    dp[i][j]= Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[n][m]);
    }
}

自己不妨敲一遍,可以去acwing上测试一下题目链接点击前往

✨完全背包

✍[题目]:有N种物品,可以放进一个容量为W的背包,第i件物品的体积是w[i];价值是v[i];怎么放使得背包里面的总价值最大?

✍[特点]:每种物品可以多选

✍[思路]:和01背包一个道理,可以将之前的只能放一个加一个循环放多次,对于第i种物品,循环找到最佳k

那么状态方程可以写为

import java.util.Scanner;

public class b完全背包 {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt();
        int[] w = new int[n + 1];
        int[] v = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
            w[i] = sc.nextInt();
            v[i] = sc.nextInt();

        }
        int[] dp = new int[m + 1];
        for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
            int weight = w[i];
            int value = v[i];
            for (int j = m; j >= weight; j--) {
                for (int k = 0; k * weight <= j; k++) {

                    dp[j]= Math.max(dp[j],dp[j-k*weight]+k*value);

                }
            }
        }
        System.out.println(dp[m]);
    }
}

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✨多重背包

✍[题目]:有N种物品,可以放进一个容量为W的背包,第i件物品的体积是w[i];价值是v[i];怎么放使得背包里面的总价值最大?

✍[特点]:每种商品有个数限制

✍[思路]:和完全背包类似只需要加上个数限制

import java.util.Scanner;

public class c多重背包 {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt();
        int[] w = new int[n + 1];
        int[] v = new int[n + 1];
        int[] s = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
            w[i] = sc.nextInt();
            v[i] = sc.nextInt();
            s[i] = sc.nextInt();
        }
        int[] dp = new int[m + 1];
        for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
            int weight = w[i];
            int value = v[i];
            int num = s[i];
            for (int j = m; j >= weight; j--) {
                for (int k = 0; k * weight <= j&&k<=num; k++) {

                    dp[j]= Math.max(dp[j],dp[j-k*weight]+k*value);

                }
            }
        }
        System.out.println(dp[m]);
    }
}

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✨多重背包2(二进制优化)

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✨多重背包3(待更新)

✨二维费用背包(待更新)

✨分组背包(待更新)

✨有依赖背包(待更新)

✨背包问题求方案数(待更新)

✨背包问题求最优方案(待更新)

❗❗总结:好好学习每一天