巧用相似三角形列方程——2021年上海中考数学第25题

巧用相似三角形列方程——2021年上海中考数学第25题

相似三角形的对应边成比例，本质上在等号左右两边各得到一个分式，然后化成乘积式之后，可利用它构建方程，这种方法在使用过程中面临几个难点，第一个是相似三角形的寻找或构造；第二个是比例线段的选取；第三个是比例变换。

对于初中学段的相似三角形，要求不超过两次，比例变换难度也有控制，但对于压轴题中的相似三角形，要用好它们也并不容易。

题目

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E.

(1)当点E在CD上

①求证：△DAC∽△OBC；

②若BE⊥CD，求AD：BC的值；

(2)若DE=2，OE=3，求CD的长.

解析：

(1)

当点E在CD上时，

①图中的△DAC为等腰三角形，而点O为Rt△ABC斜边上的中线，所以可得到△BOC也是等腰三角形，证明两个等腰三角形相似，就容易多了。由AD∥BC，可证明这两个等腰三角形有一个底角相等，于是∠DAC=∠ACD=∠OCB=∠OBC，所以△DAC∽△OBC；

②若BE⊥CD，如下图：

重点观察新增加的Rt△COE，∠COE是△BOC的外角，所以∠COE=2∠OCB=2∠OCE，一个直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的两倍，特殊角出来了，因此∠OCE=30°，现在图中出现了两个含30°角的直角三角形，Rt△ABC和Rt△COE，或两个含120°角的等腰三角形△ADC和△BOC，我们可简单推导出含120°角的等腰三角形腰与底边的数量关系，1：√3，所以AC=√3AD，BC=√3OC，而AC=2OC，因此得到结果AD：BC=2：3；

(2)

再次阅读题目中“联结BO并延长交边CD或边AD于点E”，明显提示有两种情况，分别作图求解。

第一种情况：继续用原题图，当点E在边CD上时，

不妨设CD=AD=x，我们可表示出CE=x-2，依然有△ADC∽△BOC，还有△COE∽△BCE，我们利用这两对相似三角形，建立与边CD的关联。

由△ADC∽△BOC，可得CD：CO=AC：BC，将其中的AC换成2CO，整理得CD：CO=2CO：BC，即CD：2CO=CO：BC；

再由△COE∽△BCE，可得CE：BE=OE：CE=CO：BC，注意到最后一组比例线段和前一个相似三角形的比例线段相同，建立了这两组比例式间的联系，推导如下：

第二种情况：当点E在边AD上时，如下图：

连接CE，注意到此时的四边形ABCE，我们可证明它是矩形，所以AC=BE=2OE=6，这样得到两个直角三角形Rt△ACE和Rt△CDE，有一条公共直角边CE，利用勾股定理列方程，推导如下：

解题反思：

 本题难度总体来讲并不算太高，第1小题给出了很好的提示，然后由相似三角形得到成比例线段，在不同的相似三角形的对应边之比中，找到关联，同时为了计算方便，设置未知数，列方程，这是大致思路。

在寻找几何量之间的等量关系时，除了相似三角形之外，还有勾股定理，找准这些图形之间的关系是解题成功的关键，当然本题解法并不唯一，也可以通过构造特殊四边形求解，或者建立平面直角坐标系，用解析法。

作为压轴题，这个难度需要放在整张试卷中看，单独一道题难度并无意义，2021年上海中考数学试卷，并没有特别突出的难题，这也是为了能有良好的区分度，最贴近的形容，就是考生跳一跳，能摘到桃子。