C程序训练：两个数组按规则结合形成一个集合

题目描述： 小花有一个数组A，小树有一个数组B。小花和小树的关系很好，他们希望合并手中的数组，得到新的集合C={a+b|a∈A, b∈B}。

输入格式：第一行输入两个整数N,M，分别表示数组A,B的长度。第二行包含N个整数，表示数组A。第三行包含M个整数，表示数组B。

  (0 ≤ N,M ≤ 2 *10^5, 0 ≤ A[i],B[i] ≤ 2 * 10^6)

输出格式：输出一个整数，表示C的元素个数。

输入样例：

10 10

12 14 0 2 2 15 26 17 8 44

1 4 6 10 22 13 19 50 39 0

输出样例：

56

注意：本题时间限制较严格，由于暴力解法时间复杂度为O(n^2)，可能无法满足本题要求，因此请尽可能优化你的算法（ 6000ms，512MB）。

分析：我们首先想到的算法就是暴力解法，用双重循环实现。源程序如下：

#include 
#include 
#include 

int main(void)
{
   int n, m;
   scanf("%d %d", &n, &m);

   int* arrl=(int*)malloc(sizeof(int) * n);
   int* arr2=(int*)malloc(sizeof(int) * n);
   if (arrl==NULL || arr2 == NULL) return 1;  
   for (int i = 0; i < n; ++i)  {
      scanf("%d",&arrl[i]);
   }
   for(int i = 0; i< m; ++i) {
     scanf("%d",&arr2[i]);
   }
   char* check =(char*)malloc(sizeof(char) * 4000001);
   if (check == NULL) return 1;
   memset (check, 0, sizeof(char) * 4000001);

   int count= 0;
   for (int i = 0; i < n; ++i) {
      for (int j = 0; j < m; ++j)  {
         check[arrl[i] + arr2[j]]=1;    
      }
   }
   for(int i=0; i< 4000001; i++){
      count += check[i];
   }
   printf("%d\n",count);
   return 0;
}

暴力算法虽然简单，但数据量大时，运行时间会超时，因为算法的时间复杂度为O(n^2)，无法满足题目要求。因此，必须找到一种解决方案。因此有网友提出一种方案，使用傅里叶变换实现。

设A数组[0, 1, 3, 5, 6]中的元素可看成多项式（1+x+x^3+x^5+x^6)的系数，B数组中[2,3,4]中的元素可看成多项式(x^2+x^3+x^4)的系数。计算这两个多项式的乘法（1+x+x^3+x^5+x^6)*(x^2+x^3+x^4)，然后看结果中哪些项前面有系数，统计有系数项的个数，即为所求答案。

使用快速傅里叶变换进行多项式乘法运算，其时间复杂度为O（nlogn)，应能满足题目要求。源程序如下。

#include 
#define LLONG long long
#define MAXN  (1<<23)
#define mod 998244353 //质数,在编程中常被用来做模数
int id[MAXN];
int a[ MAXN],b[ MAXN];
int quickpow(int x, int b)
{
  LLONG ans=1,t=x;
  while(b){
    if(b&1) ans=ans*t%mod;
    t=t*t%mod;
    b>>=1;
  }
  return ans;
}
int init(int len)
{
  int lim=1;
  while(lim<=len)  {
    lim<<=1;
  }
  for(int i=1; i>1]>>1)+(i&1)*(lim>>1);
  }
  return lim;
}
void NTT(int a[],int lim, int opt)
{
  for(int i=1; i>1;
    int wn=quickpow(3,(mod-1)/len);
    for(int i=0; ilim)lim=x;
  }
  for(i=1; i<=m; i++)  {
    scanf("%d",&x);
    b[x]=1;
    if(x>lim)lim=x;
  }
  lim = init(lim<<1);
  NTT(a,lim,1);
  NTT(b,lim,1);
  LLONG step;
  for(i=0; i

参考文献：

[1]https://tieba.baidu.com/p/8844914020

[2]百度网盘资源下载网址

https://pan.baidu.com/s/17ZXphwqySNIsIgcGtYMjvg?pwd=lhwc

[3]李红卫，李秉璋. C程序设计与训练（第四版）[M]，大连，大连理工大学出版社，2023.