POJ 2728 Desert King ★(01分数规划介绍 && 应用の最优比率生成树)
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题意】每条路径有一个 cost 和 dist，求图中 sigma(cost) / sigma(dist) 最小的生成树。 标准的最优比率生成树，楼教主当年开场随手1YES然后把别人带错方向的题Orz……
♦01分数规划
参考Amber-胡伯涛神牛的论文《最小割模型在信息学竞赛中的应用》°定义
分数规划（fractional programming）的一般形式： Minimize λ = f( x) = a( x) / b( x) ( x∈ S && ∀ x∈ S, b( x) > 0 ) 其中，解向量 x在解空间 S内， a( x)与b( x)都是 连续的实值函数。 分数规划的一个特例是 0-1分数规划(0-1 fractional programming)，就是其解向量 x满足∀ xi∈{0,1}（这就是所谓的0-1）。形式化定义如下： Minimize λ = f( x) = a• x / b• x = sigma(a*x) / sigma(b*x) ( x∈{0,1}^n && b• x > 0 ) 并且对解向量 x可能还有其他的组合限制，这些针对解向量 x的不同限制也就有了01分数规划的不同模型：比如最优比率生成树、最优比率生成环、最优比率割……°解法
假设我们已经知道了最终答案λ，那么方程就可以写为： sigma(a x*) = sigma(b x*)•λ， 即sigma(a x*) - sigma(b x*)•λ = 0 令g(λ) = min( x∈ S){ sigma(ax) - λ•sigma(bx) }， 易知该函数单调递减，且设*λ为该规划的最优解，则 g(λ) = 0 ⇔ λ = *λ g(λ) > 0 ⇔ λ < *λ g(λ) < 0 ⇔ λ > *λ 所以我们就可以二分枚举λ，然后判断g(λ)是否等于0……而g(λ)的计算要根据不同模型（即对x的不同限制）具体解决。 【 Dinkelbach迭代算法】 不同于刚才的二分枚举，算法采用牛顿迭代的方式来求λ。 ①初始设λ 0 = 0 ②计算g(λ 0)，并且得到最优解 *x ③计算*λ = a•*x / b•*x， 如果*λ = λ 0，算法结束；否则令λ 0 = *λ，继续步骤②. 迭代比二分速度快很多，而且不用考虑二分的上界。 【 最优比率生成树解法】 我们回到此题，就比如此题的最优比率生成树，二分枚举λ，那么就判断g(λ) = min( x∈ S){ ( cost-λ* dist)•x }是否等于0. 而计算g(λ)就是把原图中的每条边的权值都改为cost-λ*dist，然后求最小生成树即可.
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//精度模板 const double eps = 1e-4; bool dd(double x,double y) { return fabs( x - y ) < eps;} // x == y const int MAXV = 1003; struct village{ double x,y,z; }v[MAXV]; double len[MAXV][MAXV]; double cost[MAXV][MAXV]; double dist[MAXV]; int pre[MAXV]; int n; double prim(double r){ bool vis[MAXV] = {0}; double csum = 0.0, lsum = 0.0; dist[1] = 0.0; vis[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; i ++){ dist[i] = cost[1][i] - r * len[1][i]; pre[i] = 1; } for (int p = 2; p <= n; p ++){ double minx = 99999999.0; int u = -1; for (int i = 1; i <= n; i ++){ if (!vis[i] && minx > dist[i]){ minx = dist[i]; u = i; } } if (u == -1) break; vis[u] = 1; csum += cost[pre[u]][u]; lsum += len[pre[u]][u]; for (int i = 2; i <= n; i ++){ if (vis[i]) continue; double w = cost[u][i] - r * len[u][i]; if (dist[i] > w){ dist[i] = w; pre[i] = u; } } } return csum / lsum; } int main(){ //freopen("test.in", "r", stdin); //freopen("test.out", "w", stdout); while(scanf("%d", &n), n){ for (int i = 1; i <= n; i ++){ scanf("%lf %lf %lf", &v[i].x, &v[i].y, &v[i].z); } for (int i = 1; i <= n; i ++){ for (int j = i+1; j <= n; j ++){ len[i][j] = len[j][i] = sqrt((v[i].x-v[j].x)*(v[i].x-v[j].x)+(v[i].y-v[j].y)*(v[i].y-v[j].y)); cost[i][j] = v[i].z - v[j].z; cost[j][i] = cost[i][j] = cost[i][j] < 0 ? -cost[i][j] : cost[i][j]; } } double a = 0, b; while(1){ b = prim(a); if (dd(b, a)){ break; } a = b; } printf("%.3f\n", a); } return 0; }