运筹说 第103期 | 非线性规划经典例题讲解

运筹说 第103期 | 非线性规划经典例题讲解_第1张图片

通过前几期的学习,我们已经学会了非线性规划基本概念一维搜索的计算方法,其中掌握了斐波那契法0.618法(黄金分割法)库恩塔克条件以及无约束极值问题的定义相关求解方法,本期小编带大家学习非线性规划在经济管理中的应用

在实际工作中,我们能发现非线性规划在经济管理中有着许多应用,本期小编选择了其中一些典型例子,包括一维搜索的两种求解方法梯度下降法以及库恩塔克条件,进行详细讲解。

一、一维搜索求解

问题描述:

现有一家制造企业,生产某种产品所需的能源消耗与生产速度相关,其目的是希望通过优化生产速度来最小化能源消耗,并在给定的时间范围内完成生产任务。现已知能源消耗与生产速度之间的关系由函数\varphi \left ( t \right )=t^{3}-2t+1决定,其中t表示生产速度(t≥0),起始时间和结束时间对应的生产速度为0和3,要求区间精度为\varepsilon =0.5

问题分析:

该问题的目标是在给定的时间范围内生产产品,并在满足速度取值范围和区间精度的条件下最小化能源消耗,寻找一个最佳的生产速度t,故可以将问题转换成一维搜索方法进行求解。根据以上描述可以得出初始的单谷区间,并根据要求确定最后区间的精度,根据斐波那契法或者0.618(黄金分割法)进行迭代,得到最佳的生产速度

问题求解:

斐波那契法求解:

根据上述描述可得出:

运筹说 第103期 | 非线性规划经典例题讲解_第2张图片

运筹说 第103期 | 非线性规划经典例题讲解_第3张图片运筹说 第103期 | 非线性规划经典例题讲解_第4张图片运筹说 第103期 | 非线性规划经典例题讲解_第5张图片运筹说 第103期 | 非线性规划经典例题讲解_第6张图片

0.618法(黄金分割法)求解:

运筹说 第103期 | 非线性规划经典例题讲解_第7张图片

运筹说 第103期 | 非线性规划经典例题讲解_第8张图片运筹说 第103期 | 非线性规划经典例题讲解_第9张图片运筹说 第103期 | 非线性规划经典例题讲解_第10张图片运筹说 第103期 | 非线性规划经典例题讲解_第11张图片

方法总结

黄金分割法斐波那契法都是用于求解一维搜索问题的优化算法,特别在非线性规划中有广泛的应用。它们的目标是在一个给定的区间内找到一个局部最优解,即使函数是非线性的。下面是它们的相同点以及不同点的总结。

相同点

①一维搜索: 黄金分割法和斐波那契法都是一维搜索方法,适用于只有一个变量的优化问题。

基于区间缩减: 两种方法都利用不断缩小搜索区间的策略,从而逐步逼近最优解。

无需梯度信息: 这两种方法不需要函数的梯度信息,因此适用于无法轻易获得导数信息的问题。

不同点

搜索点选取方式:

黄金分割法: 黄金分割法使用恒定的比例因子将当前搜索区间分成两个部分,选择一个新的搜索点进行迭代。

斐波那契法: 斐波那契法根据斐波那契数列的特性来决定搜索点的位置,通过适当的调整搜索区间来达到收敛。

二、梯度下降法求解

问题描述:

假设你是一家公司的销售经理,负责优化某个产品的销售策略。根据历史数据和市场分析,你确定了一个销售指标公式 f\left ( x\right )=-x_{1_{}}-x_{2_{}}+2x_{1}^{2}+2x_1 x_2+x_2^2 来评估不同的销售策略,其中,销售策略的参数由x_{1}x_{2}描述,表示采用不同的促销手段和定价策略,为了确保销售策略的可行性,促销手段和定价策略均不能为负值。根据给定的指标公式,你应该如何确定最佳的销售策略参数,以使得该指标最小?(终止误差\varepsilon=0.3 )

问题解析:

运筹说 第103期 | 非线性规划经典例题讲解_第12张图片

三、库恩塔克条件

问题描述:

某一施工单位希望设计一座跨越一条河流的桥梁,为了提高桥梁的性能,需要使得函数f\left ( X\right )=2x_{1}^{2}+2x_1 x_2+x_2^2-10x_{1}-10x_{2} 最小,希望桥梁在材料使用和结构设计上能够达到最佳的效果,以提高桥梁的承重能力、稳定性和耐久性。其中,变量x_{1} 和x_{2} 分别代表桥梁的设计参数。为了避免过分复杂的结构和不切实际的设计,桥梁的设计参数的取值必须满足x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leqslant 5 。另外,桥梁的设计参数x_{1} 和x_{2} 的线性组合必须满足3x_{1}+x_{2}\leqslant 6

问题分析:

根据上述对问题的描述,可以明确的看出该优化问题是在有约束条件下求取最小值,我们可以使用库恩-塔克条件来解决。通过对约束条件引入广义拉格朗日乘子,分情况对引入的约束条件进行讨论,如果可以找到一组满足库恩-塔克条件的可行点和广义拉格朗日乘子,就能够找到该问题的最优点。

运筹说 第103期 | 非线性规划经典例题讲解_第13张图片

运筹说 第103期 | 非线性规划经典例题讲解_第14张图片运筹说 第103期 | 非线性规划经典例题讲解_第15张图片运筹说 第103期 | 非线性规划经典例题讲解_第16张图片运筹说 第103期 | 非线性规划经典例题讲解_第17张图片运筹说 第103期 | 非线性规划经典例题讲解_第18张图片

运筹说 第103期 | 非线性规划经典例题讲解_第19张图片

以上就是本期非线性规划例题讲解的全部内容啦,通过对这一期的学习,相信大家一定能够加深对非线性规划的理解,进而在生活实践中学会应用!

作者 | 林鑫 马书良

责编 | 陈梦

审核 | 徐小峰

运筹说 第103期 | 非线性规划经典例题讲解_第20张图片

 ·YUNCHOUSHUO· 

·知乎|运筹说·

·B站|运筹说·

·CSDN|运筹说·

你可能感兴趣的:(运筹学,非线性规划,经典例题)