【转载】双二阶IIR滤波器

• 前言
• 双二阶滤波器说明
• 补充说明和一些建议
• 三种滤波器类型的计算过程系数如何使用
  • Direct Form I 的计算过程
  • Direct Form II 的计算过程
  • Transposed direct forms
• 附录英文原文
  • 第一个链接来源的英文原文
  • 第二个链接来源的英文原文

前言

本文翻译自这个博客：
Biquads | EarLevel Engineering
和 wiki:
https://en.wikipedia.org/wiki/Digital_biquad_filter
（英文原文附在最后面）

双二阶滤波器说明

双二阶滤波器(biquad)是最常用的滤波器之一。双二阶滤波器是双二阶（两个极点和两个零点）的IIR滤波器。考虑到更高阶数的滤波器对系数敏感，双二阶可以单独使用，或者在更复杂的滤波器中作为基本的构建单元。例如，一个双二阶低通滤波器有12dB/octave斜度的截止频点，可以用于音调控制；如果需要一个24dB/octave的斜度，可以级联两个双二阶滤波器，这个结构比一个单4阶滤波器对参数更不敏感。

双二阶滤波器有几种不同的结构。最直观也最直接的实现是用一个二阶差分方程（ (y[n] = a0*x[n] + a1*x[n-1] + a2*x[n-2] – b1*y[n-1] – b2*y[n-2])），称之为Direct Form I:
 Direct Form I

在定点（没有浮点数）处理器中，Direct Form I是最好实现的，因为只有一个加法点（定点DSP一般都有扩展的累加器，可以在运算中有一定的溢出）。

我们可以把Direct Form I在加法那个点分成两部分，如下图：

然后，我们把分开的两部分交换顺序，让反馈的部分（极点）先计算：

可以看到，上图中成对的Z延时是有冗余的，剔除冗余后得到Direct Form II:
 Direct Form II

Direct Form II更适合浮点处理器，节省了存储空间，并且浮点处理器不会有溢出问题（不像定点处理器有溢出问题）。我们可以通过转置来进一步改进Direct Form II. 把信号的流向前后颠倒，输出变成输入，分支节点变成加法，加法变成分支节点。通过转置，滤波器的特征不变，并且，转置后更有利于用浮点来计算。当相加的两个数比较临近时，浮点数会有更高的精度（把很小的数加到一个很大的数上，精度会比两个相近的数相加有更低的精度）。下图是转置后的Direct Form II( Transposed Direct Form II):
 Transposed direct form II

补充说明和一些建议

总结，direct form I更适合定点计算，转置(transposed) Direct form II更适合浮点计算。

量化误差，在低频情况下，容易导致双二阶滤波器更脆弱（不稳定），主要是因为反馈系数(b1和b2)以及中间值(the delay memory)。精度不够，会导致不容易精确控制极点的位置，尤其在极点靠近单位圆的情况下，因此，量化误差会变成一个重要问题。第二个问题，是关于中间值的，相乘之后会产生更多的位，当保存下来时，需要做截断处理。这个误差反馈回滤波器系统，可能导致系统不稳定。32位浮点数对于音频滤波器来讲一般是足够好了。但是，对于很低频率（如控制类信号的滤波）和高采样率情况下，可能需要双精度才行。

对于定点实现的滤波器，24位的系数和中间存储，基本上可以很好的满足需要了，但是48k采样率下从300Hz往下（或者96k采样率下从600Hz往下），就开始变得不稳定了。定点处理器上实现双精度开销很大，幸好，有一个简单的方法可以提高稳定度。看看Direct Form I的结构图，把高精度的累加结果保存在低精度的中间存储器中，这个过程会造成精度损失。把精度损失（量化损失：高精度计算结果与低精度存储之间的差值）加回到下一次输出结果的计算中，近似达到双精度，当然，会增加一些运算量。这个技巧被称为First Order Noise Shaping. 有更高阶的Noise Shapers，但是First Order已经足够好了，可以应付所有音频需要，即使在高采样率的情况下。
Direct Form I with first-order noise shaping

没有双精度的系数和计算，仅仅用16位定点，通常情况下，是不适合用于处理音频的。

最后，双二阶滤波器仅仅是DSP工具之一，它也不全是最好的滤波器。还有其它的滤波器没有低频敏感问题的（通常，双二阶滤波器对于高频是有比较好精度的，对于低频则不太好；有其它类型的滤波器，精度的分布更均匀，或者可以牺牲部分高频的精度来换取低频的精度）。然而，双二阶滤波器很通用和普遍，设计工具也很充足，所以，双二阶滤波器会是首选，除非有明确的原因需要用其它类型的滤波器。

有太多滤波器类型了，另外一个对synthesizer来说很经常使用的是state variable filter。对于低频有很好的性能，对于高频有一些需要绕过的限制，但是，最重要的是频率和Q系数是分开的，且很容易改变。它也构成了低频sine波产生器。