离散数学（屈婉玲）命题逻辑
前言：
Hello，小伙伴们，经过辣么长的时间跨度，离散数学的图论部分终于更新完啦！（尬笑）
现在正式开始从离散数学的正常顺序开始更新~
命题的逻辑
命题：能够判断真假的陈述句！（但不能既真又假的陈述句）
举个栗子：
1.明天星期六 （不是命题吼！无法判断他是真假）
2.你去教室吗？ （不是命题吼！ 他是疑问句~）
3. 这个苹果真大呀！ （不是命题吼！ 他是感叹句~）
4.x+y>10 （不是命题吼！ 陈述句，无法判断真假）
5.苹果是红色的 （命题）
复合命题：
简单命题用联结词来联结的叫做复合命题（大白话就是由多个简单命题组合而成的）
联结词：(命题的真假通常用真“1”假“0”表示）
是逻辑联结词或命题联结词的简称
- 联结词【非】------>[ ¬ P], 表示否定；
- 联结词【合取】---->[^],表示且；只要有一个为0，则为0；
- 联结词【析取】---->[ ∨ ],表示或；只要有一个1，则1；
- 联结词【蕴涵】---->[ → ]，表如果...，则...;只有当前件P的真值为1,后条Q真值为0时，则P->Q的真值为0
| P | Q | P--->Q |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 |
0 |
| 1 | 1 | 1 |
他的真值表记法是（先判断P 和Q谁在前，当前面为假时，后面无论为啥结果都为真
而前面为真时，真假取决于后面那个）
- 联结词【等价】---->[ ↔ ],表示，当且仅当；
| P | Q | P<->Q |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
他的真值表记法是（P 和Q真假一样时为真，不一样时为假）
真值表：
直接看栗子吧
例题：
利用真值表求公式┐（P→Q）∧Q∧R
| P | Q | R | P→Q | ┐(P→Q) | Q∧R | ┐(P→Q)∧Q∧R |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
重言式，矛盾式，可满足式
1.重言式：在各种赋值下取值都是1（真）又称永真式
2.矛盾式：在各种赋值下取值都是0（假）-------例如上面用真值表法举得那个栗子又称永假式
3.可满足式：矛盾式外都是；（包含重言式可满足式和非重言式可满足式）
等值演算
1.双重否定律 A<=>┐┐A
2.幂等律 A<=>Av A, A<=>A∧A
3.交换律 Av B<=>Bv A ，A∧B<=>B∧A
4.结合律 (AvB)vC<=>Av(BvC)，(A∧B)∧C<=>A∧(B∧C)
5.分配律 Av(B∧C)<=>(AvB)∧(AvC)，A∧(BvC)<=>(A∧B)v(A∧C)
6.德摩根律 ┐(AvB)<=>┐A∧┐B，┐(A∧B)<=>┐Av┐B
7.吸收律 Av(A∧B)<=>A，A∧(AvB)<=>A
8.零律 Av1<=>1，A∧0<=>0
9.同一律 Av0<=>A，A∧1<=>A
10.排中律 Av┐A<=>1
11.矛盾律 A∧┐A<=>0
12.蕴涵等值式 A→B<=>┐AvB
13.等价等值式 A<->B<=>(A→B)∧(B→A)
14.假言易位 A→B<=>┐B→┐A
15.等价否定等值式 A<->B<=>┐A<->┐B
16.归谬论 (A→B)∧(A→┐B) <=>┐A
例题：
（1）（P→Q）→R<=>（┐Q∧P）vR — 验证等值式
解：（P→Q）→R
<=>（┐PvQ）→R
<=>┐（┐PvQ）vR
<=>（P∧┐Q）vR
<=>（┐Q∧P）vR
析取范式和合取范式
定义：（1）有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式
（2）有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式
性质：（1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式
（2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式
举个栗子
若变元是 P，Q，R
析取范式：例如：(P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ )
合取范式：例如：（P∨Q）∧（¬P∨R）∧（Q∨R）
主析取范式和主合取范式（每个括号内必须包含所有变元）
举个栗子
若变元是 P，Q，R
主析取范式：例如：(P ∧ Q ∧R) ∨ (¬P ∧ R ∧ Q )
主合取范式：例如：（P∨QvR）∧（¬P∨QvR）∧（PvQ∨R）
极大项和极小项
极大项M对应的是 ----主析取范式（使得每个括号成为0的赋值）
极小项m对应的是 ----主合取范式（使得每个括号成为1的赋值）
举个栗子
p，q两个命题变项生成的4个极小项对应的二进制和十进制数如下：(数字为下标)
| P | Q | P∧Q（计算方法） | m |
| 1 | 1 | 1*2^1+1*2^0 | m3 |
┐P∧┐Q ——00——0，记做m0;
┐P∧Q ——01——1，记做m1;
P∧┐Q ——10——2，记做m2;
P∧Q ——11——3，记做m3
同理---变项为多个也是这么做
公式：从最右边那个开始依次是2^0,2^1,2^2……
用真值情况乘相对应的2的多少次方就行
主合取范式为:(数字为下标)
pvq ——00——0，记做M0;
pv┐q ——01——1，记做M1;
┐pvq ——10——2，记做M2;
┐pv┐q ——11——3，记做M3;
例题：
求公式p→((q∧r)∧(p v(┐q∧┐r)))的主析取范式，再由主析取范式求出公式的主合取范式，并判断公式的类型。
解：p→((q∧r)∧(p v(┐q∧┐r)))
⇔┐p v((p∧q∧r)v((q∧r)∧(┐q∧┐r)))
⇔┐p v (p∧q∧r)
⇔(┐p∧(q v┐q)∧(r v┐r)) v (p∧q∧r)
⇔(┐p∧q∧r) v(┐p∧┐q∧r) v(┐p∧q∧┐r) v(┐p∧┐q∧┐r) v(p∧q∧r)
⇔m3 v m1 v m2 v m0 v m7
⇔m0 v m1 v m2 v m3 v m7 (主析取：使得每个括号值都为1的赋值)
⇔M4 ∧ M5 ∧ M6 (主合取：使得每个括号值都为0的赋值)
结论：公式为可满足式
⇔M4 ∧ M5 ∧ M6 (主合取)----------这个是如何直接看出来的呢？
别急，让我给你慢慢道来：
已知变项有n个：则它一共有2^n个M和m这样的式子
他是从0开始的，例如该题，他已经有了m0，m1，m2，m3，m7
而他有3个变元（p，q，r），则它有2^3=8个M和m这样的式子，又因为从0开始的，所以极大项就是 M4，M5，M6
------------同理若知道极大项，也可以用这种方法直接求极小项
补充：
1.像这种给你俩个式子让你判断他俩是不是等值的，用真值表法~~
例如：
证明Gv（G∧r）与G是否等值，即证明：Gv(G∧r）<-->G是否为永真式，用真值表法
2.如果给你式子让你求极大项或者极小项，但是给你的括号内变项又不全，那么如何去凑呢？
排中律 Av┐A<=>1
矛盾律 A∧┐A<=>0
利用这俩来解决吼~~
当然还有更简单的
例如：
（pvq）∧（┐pvq┐R）
让它变成含极小项的式子
（pvqvR）∧（pvqv┐R）∧（┐pvq┐R）
缺哪个直接给他补上，后面别忘记添加一个他的┐的情况；
命题逻辑的推理理论
8条推理定律
1.A=>(AvB) 附加
2.(A∧B)=>A 化简
3.(A→B)∧A=>B 假言推理
4.(A→B)∧┐B=>┐A 拒取式
5.(AvB)∧┐B=>A 析取三段论
6.(A→B)∧(B→C)=>(A→C) 假言三段论
7.(A<=>B)∧(B<=>C)=>(A<=>C) 等价三段论
8.(A→B)∧(C→D)∧(AvC)=>(BvD) 构造性二难
规则：
1.前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可引入前提。
2.结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得到的结论都可以作为后续证明的前提，加以引用。
3.置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的任何子公式都可以用与之等值的公式置换，得到公式序列中又一公式。
4.假言推理规则：若证明的公式序列中已出现过A→B和A，则由假言推理定律可知。B是A→B和A的逻辑结论，由推理规则2，可引入B。
5.附加规则：若证明的公式序列中已出现A，由附加律可知，AvB是A的逻辑结论，由规则2，可引入A或B。
6.化简规则：若证明的公式序列中已出现A∧B,由化简律可知，A,B都是A∧B的逻辑结论。由规则2可引入A或B。
7.拒取式规则：若证明的公式序列中已出现A→B和┐B，则可以引入┐A。
8.假言三段论规则：若证明的公式序列中已出现A→B和B→C，则可以引入A→C。
9.析取三段论规则：若证明的公式序列中已出现过AvB和┐B，则可以引入A。
10.构造性二难规则：若证明的公式序列中已出现过A→B，C→D，AvC，则可以引入BvD
例题：
1.用直接证明法证明下面的推理
前提：p→r，q→s，q，p
结论：r∧s
证明：① p→r
② p
③ r
④ q→s
⑤ q
⑥ s
⑦ r∧s
2.用附加前提法证明下面的推理
前提： ┐p v (q→r)，s→p，q
结论：┐r→┐s
证明：① ┐p v (q→r)
② ┐r
③ ┐p v ┐q
④ q
⑤ ┐p
⑥ s→p
⑦ ┐s
3.用归谬法证明下面的推理
前提： p→(q→r)，p∧q
结论：r v s
证明：① ┐(r v s)
② ┐r∧┐s
③ ┐r
④ p→(q→r)
⑤ p→┐q
⑥ p∧q
⑦ p
⑧ ┐q
⑨ ┐p
⑩ p∧┐p
结论：p∧┐p为矛盾式
第一节的分享就到这里啦~
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谢谢大家哈~
