离散数学(屈婉玲)命题逻辑

前言:

Hello,小伙伴们,经过辣么长的时间跨度,离散数学的图论部分终于更新完啦!(尬笑)

现在正式开始从离散数学的正常顺序开始更新~

离散数学(屈婉玲)命题逻辑_第1张图片


命题的逻辑

命题:能够判断真假的陈述句!(但不能既真又假的陈述句)

举个栗子:

离散数学(屈婉玲)命题逻辑_第2张图片

1.明天星期六               (不是命题吼!无法判断他是真假)

2.你去教室吗?           (不是命题吼!        他是疑问句~)

3. 这个苹果真大呀!      (不是命题吼!        他是感叹句~)           

4.x+y>10                        (不是命题吼!            陈述句,无法判断真假)

5.苹果是红色的               (命题)

复合命题

简单命题用联结词来联结的叫做复合命题(大白话就是由多个简单命题组合而成的)

联结词:(命题的真假通常用真“1”假“0”表示)

是逻辑联结词或命题联结词的简称

  • 联结词【非】------>[ ¬ P], 表示否定;  
  • 联结词【合取】---->[^],表示且;只要有一个为0,则为0;
  • 联结词【析取】---->[ ∨ ],表示或;只要有一个1,则1;
  • 联结词【蕴涵】---->[ → ],表如果...,则...;只有当前件P的真值为1,后条Q真值为0时,则P->Q的真值为0
P Q P--->Q
0 0 1
0 1 1
1

0

0
1 1 1

他的真值表记法是(先判断P 和Q谁在前,当前面为假时,后面无论为啥结果都为真

而前面为真时,真假取决于后面那个)

  •      联结词【等价】---->[ ↔ ],表示,当且仅当;
P Q P<->Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

他的真值表记法是(P 和Q真假一样时为真,不一样时为假)

真值表:

直接看栗子吧

例题:

利用真值表求公式┐(PQ)∧Q∧R

P Q R  P→Q ┐(P→Q) Q∧R  ┐(P→Q)∧Q∧R
0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0

0

0 1 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 1 0
1 0 0 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0 0
1 1 0 1 0 0 0
1 1 1 0 1 0 0

重言式,矛盾式,可满足式

1.重言式:在各种赋值下取值都是1(真)又称永真式

2.矛盾式:在各种赋值下取值都是0(假)-------例如上面用真值表法举得那个栗子又称永假式

3.可满足式:矛盾式外都是;(包含重言式可满足式和非重言式可满足式)

等值演算

1.双重否定律                                                    A<=>┐┐A

2.幂等律                                                 A<=>Av A,   A<=>A∧A

3.交换律                                                 Av B<=>Bv A ,A∧B<=>B∧A

4.结合律                                                 (AvB)vC<=>Av(BvC),(A∧B)∧C<=>A∧(B∧C)

5.分配律                                                 Av(B∧C)<=>(AvB)∧(AvC),A∧(BvC)<=>(A∧B)v(A∧C)

6.德摩根律                                             ┐(AvB)<=>┐A∧┐B,┐(A∧B)<=>┐Av┐B

7.吸收律                                                  Av(A∧B)<=>A,A∧(AvB)<=>A

8.零律                                                     Av1<=>1,A∧0<=>0

9.同一律                                                 Av0<=>A,A∧1<=>A

10.排中律                                                 Av┐A<=>1

11.矛盾律                                                 A∧┐A<=>0

12.蕴涵等值式                                          A→B<=>┐AvB

13.等价等值式                                          A<->B<=>(A→B)∧(B→A)

14.假言易位                                              A→B<=>┐B→┐A

15.等价否定等值式                                   A<->B<=>┐A<->┐B

16.归谬论                                                 (A→B)∧(A→┐B) <=>┐A

例题:

(1)(P→Q)→R<=>(┐Q∧P)vR     —  验证等值式

解:(P→Q)→R

      <=>(┐PvQ)→R

      <=>┐(┐PvQ)vR

      <=>(P∧┐Q)vR

      <=>(┐Q∧P)vR


析取范式和合取范式



定义:(1)有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式

            (2)有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式

性质:(1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式

            (2)一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式

举个栗子

若变元是 P,Q,R

析取范式:例如:(P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ )

合取范式:例如:(P∨Q)∧(¬P∨R)∧(Q∨R)



主析取范式和主合取范式(每个括号内必须包含所有变元)


举个栗子

若变元是 P,Q,R

主析取范式:例如:(P ∧ Q ∧R) ∨ (¬P ∧ R ∧ Q )

主合取范式:例如:(P∨QvR)∧(¬P∨QvR)∧(PvQ∨R)


极大项和极小项

极大项M对应的是      ----主析取范式(使得每个括号成为0的赋值)

极小项m对应的是      ----主合取范式(使得每个括号成为1的赋值)

举个栗子

p,q两个命题变项生成的4个极小项对应的二进制和十进制数如下:(数字为下标)

P Q P∧Q(计算方法) m
1 1 1*2^1+1*2^0 m3

┐P∧┐Q         ——00——0,记做m0;

┐P∧Q           ——01——1,记做m1;

 P∧┐Q          ——10——2,记做m2;

 P∧Q             ——11——3,记做m3

同理---变项为多个也是这么做

公式:从最右边那个开始依次是2^0,2^1,2^2……

用真值情况乘相对应的2的多少次方就行

主合取范式为:(数字为下标)

pvq                   ——00——0,记做M0;

pv┐q                ——01——1,记做M1;

┐pvq                ——10——2,记做M2;

┐pv┐q             ——11——3,记做M3;

例题:

求公式p→((q∧r)∧(p v(┐q∧┐r)))的主析取范式,再由主析取范式求出公式的主合取范式,并判断公式的类型。

解:p→((q∧r)∧(p v(┐q∧┐r)))

⇔┐p v((p∧q∧r)v((q∧r)∧(┐q∧┐r)))

⇔┐p v (p∧q∧r)

      ⇔(┐p∧(q v┐q)∧(r v┐r)) v (p∧q∧r)

      ⇔(┐p∧q∧r) v(┐p∧┐q∧r) v(┐p∧q∧┐r) v(┐p∧┐q∧┐r) v(p∧q∧r)

      ⇔m3 v m1 v m2 v m0 v m7

      ⇔m0 v m1 v m2 v m3 v m7   (主析取:使得每个括号值都为1的赋值)

      ⇔M4 ∧ M5 ∧ M6              (主合取:使得每个括号值都为0的赋值)

结论:公式为可满足式
 

⇔M4 ∧ M5 ∧ M6              (主合取)----------这个是如何直接看出来的呢?

别急,让我给你慢慢道来:

已知变项有n个:则它一共有2^n个M和m这样的式子

他是从0开始的,例如该题,他已经有了m0,m1,m2,m3,m7

而他有3个变元(p,q,r),则它有2^3=8个M和m这样的式子,又因为从0开始的,所以极大项就是 M4,M5,M6

------------同理若知道极大项,也可以用这种方法直接求极小项

补充:

1.像这种给你俩个式子让你判断他俩是不是等值的,用真值表法~~

例如:

证明Gv(G∧r)与G是否等值,即证明:Gv(G∧r)<-->G是否为永真式,用真值表法

2.如果给你式子让你求极大项或者极小项,但是给你的括号内变项又不全,那么如何去凑呢?

排中律                                                 Av┐A<=>1

矛盾律                                                 A∧┐A<=>0

利用这俩来解决吼~~

当然还有更简单的

例如:

(pvq)∧(┐pvq┐R)

让它变成含极小项的式子

(pvqvR)∧(pvqv┐R)∧(┐pvq┐R)

缺哪个直接给他补上,后面别忘记添加一个他的┐的情况;


命题逻辑的推理理论
8条推理定律

1.A=>(AvB)                                                           附加

2.(A∧B)=>A                                                          化简

3.(A→B)∧A=>B                                                    假言推理

4.(A→B)∧┐B=>┐A                                                拒取式

5.(AvB)∧┐B=>A                                                    析取三段论

6.(A→B)∧(B→C)=>(A→C)                                    假言三段论                              

7.(A<=>B)∧(B<=>C)=>(A<=>C)                            等价三段论

8.(A→B)∧(C→D)∧(AvC)=>(BvD)                          构造性二难
 

规则:

1.前提引入规则:在证明的任何步骤上,都可引入前提。

2.结论引入规则:在证明的任何步骤上,所得到的结论都可以作为后续证明的前提,加以引用。

3.置换规则:在证明的任何步骤上,命题公式中的任何子公式都可以用与之等值的公式置换,得到公式序列中又一公式。

4.假言推理规则:若证明的公式序列中已出现过A→B和A,则由假言推理定律可知。B是A→B和A的逻辑结论,由推理规则2,可引入B。

5.附加规则:若证明的公式序列中已出现A,由附加律可知,AvB是A的逻辑结论,由规则2,可引入A或B。

6.化简规则:若证明的公式序列中已出现A∧B,由化简律可知,A,B都是A∧B的逻辑结论。由规则2可引入A或B。

7.拒取式规则:若证明的公式序列中已出现A→B和┐B,则可以引入┐A。

8.假言三段论规则:若证明的公式序列中已出现A→B和B→C,则可以引入A→C。

9.析取三段论规则:若证明的公式序列中已出现过AvB和┐B,则可以引入A。

10.构造性二难规则:若证明的公式序列中已出现过A→B,C→D,AvC,则可以引入BvD

例题:

1.用直接证明法证明下面的推理

前提:p→r,q→s,q,p

结论:r∧s

证明:① p→r              

          ② p                 

          ③ r                 

          ④ q→s              

          ⑤ q                 

          ⑥ s                

          ⑦ r∧s             

2.用附加前提法证明下面的推理

前提: ┐p v (q→r),s→p,q

结论:┐r→┐s

证明:① ┐p v (q→r)               

          ② ┐r                        

          ③ ┐p v ┐q                  

          ④ q                         

          ⑤ ┐p                       

          ⑥ s→p                     

          ⑦ ┐s             

3.用归谬法证明下面的推理   

前提: p→(q→r),p∧q

结论:r v s       

证明:① ┐(r v s)                   

          ② ┐r∧┐s                    

          ③ ┐r                         

          ④ p→(q→r)                   

          ⑤ p→┐q                      

          ⑥ p∧q                        

          ⑦ p                          

          ⑧ ┐q                        

          ⑨ ┐p                        

          ⑩ p∧┐p                      

          结论:p∧┐p为矛盾式



第一节的分享就到这里啦~

如果哪里写错了,或者对于某个知识点有更好的理解,欢迎在评论区留言吼~

谢谢大家哈~

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