离散数学（屈婉玲）一阶逻辑
前言：
小伙伴们，前面的命题之类的相关知识点已经更新完啦~
下面是开始逻辑的相关知识点~~
话不多说，开始~~
一阶逻辑命题的符号化
个体词：
个体词是所研究对象中可以独立存在的具体（或抽象）的客体。
例如小王、3、中国等都可作为个体词，类似于句子中的主语。
- 将表示具体或特定的客体的个体词称为个体常项，一般用a , b , c 表示
- 将抽象或泛指的个体词称为个体变项，一般用x , y , z表示（并称个体变项的取值范围称作个体域或者论域）
个体域可以是有穷集合，也可以是无穷集合。
最大的，由宇宙中一切事物组成的，称为“全总个体域”。
可以用量词来区别个体常项与个体变项.：只有个体变项才可以冠以量词
例如：可以说“所有人⋯”, “存在一个人⋯”, 但是不能说“所有李明⋯”, “存在一个李明 ⋯”。
谓词 ：
谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词，常用F , G , H 表示。
例：
2是有理数
“…是有理数”是谓词，记为F ，则该陈述句可以符号化为F ( 2 )
x是无理数
“…是无理数”是谓词，记为G ，则该陈述句可以符号化为G ( x )x和y具有关系L
L 是谓词，该陈述句可以符号化为L ( x , y )
小王与小李同岁
“…与…同岁”是谓词，记为H ，则该陈述句可以符号化为H ( a , b ) ，a表示小王，b表示小李。
同个体词一样，谓词也有常项和变项之分
1.谓词常项：表示具体性质或关系的谓词（上面的例1.2.4都是）
2.谓词变项：.表示抽象的或泛指的性质或关系的谓词（例如：例3）
一般地，含n（n>=1)个个体变项x1,x2,...,xn 的谓词P称作n元谓词，记作P（ x1,x2,...,xn).
有时将不带个体变项的谓词称作0元谓词。
任何命题都可以表示为0元谓词，因而命题可以看作是特殊的谓词。
举个栗子：
在符号化时也要考虑到之前命题逻辑中所学的自然语言与命题联结词之间的转化。
量词
量词可以看作是对个体词所附加约束的词。
全称量词
即“一切”、“任意”、“所有的”、“凡”…等，用符号 ∀ 表示。
存在量词
即“存在”、“至少有一个”…等，用符号 ∃ 表示。
看一下课本上对于此这个知识点的习题和解析
先比较个体域和个体变项所指的范围的大小，再决定是否需要引入特性谓词。
注意看题目是否指定了个体域若没有则默认是全总个体域。在引入特性量词后，要注意：‘∀’与‘→’是固定搭配，‘∃’与‘∧’是固定搭配.
一阶逻辑公式
谓词逻辑是命题逻辑的推广, 命题逻辑是谓词逻辑的特殊情形。
谓词公式和命题公式的区别在于量词。
1.逻辑符号与非逻辑符号
与命题逻辑公式类似，为了定义一阶逻辑公式——通常简称为一阶公式或公式——首先必须要区分公式中的所有符号。在公式中，符号分为逻辑符号与非逻辑符号。
逻辑符号集中包括：
¬,∧,∨,→,↔，量词符号∀,∃，和辅助表明运算顺序的左右圆括号(,)，以及多元谓词中分隔各变量的逗号,;x,y,z
非逻辑符号集，记为L，包括：
(1)个体常量集，例如a,b,c..；
(2)谓词符号，例如P,Q,R...；
(3)函数符号，例如f,g,h.，出现时常以算术运算符+,−,×,÷...出现。
3.辖域，自由变量和约束变量
假设有公式A =∀xB,那么个体变量x称为量词∀x的指示变量，称子公式B为这个量词的辖域或作用域。
如果个体变量x在A中的一处出现，是在以自己为指示变量的量词公式的辖域(即B)中，那么称之为约束出现。否则称为自由出现。
如果个体变量x在A中的所有出现都是约束出现，那么称x是A的约束变量。否则称为自由变量。即x只要有一个或以上自由出现，就是自由变量。
如果一个公式没有自由变量，那么将公式称为闭公式或句子。
在上述的例子中，将全称量词∀替换为存在量词∃，也是一样的。
有时为了避免一个变量既约束出现又自由出现，我们会对公式做约束变量改名，或者自由变量替换，这两种方法的结果殊途同归，但约束变量改名更加保险。依然以A=∀xB为例，约束变量改名是指：将指示变量x、与B中自由出现的x，都替换为一个不在A中自由出现的个体变量y。
需要注意的是，对于同一个位置的x，在A中约束出现的x在B中不一定是约束出现！例如，A=∀xB=∀x((F(x)→∀zG(z))，其中B=F(x)→∀zG(z)，x在A中约束出现，在B中却是自由出现。
在上述的例子中，将∀替换为∃，也是一样的。
举个栗子
关于解释这部分，我感觉通过看看课本上这几个栗子就差不多了（期末通常补考的~~）
A在任何解释和该解释赋值下的结果都是真，称A为永真式（或逻辑有效式）
A在任何解释和该解释赋值下的结果都是假，称A为永假式（或矛盾式）
看一下课本上这个好题！~
今天的分享到此结束啦~~
如果哪里写错了，或者对于某个知识点有更好的理解，欢迎在评论区留言吼~
谢谢大家哈~
