用julia演示蝴蝶效应：洛伦兹吸引子
文章目录
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- Lorentz吸引子
- julia绘图
- 关闭抗锯齿
蝴蝶效应的名字来源于蝴蝶扇动翅膀的动作，虽然这个动作微小，但可能会在数周后引起飓风等极端天气的发生。这种现象表明，微小的变化可能会被放大并产生非线性的结果。这个概念最早由美国气象学家爱德华·洛伦兹提出的。
Lorentz吸引子
Lorentz吸引子堪称是微分方程组的经典入门案例了，图像也具有极高的辨识度，特别像蝴蝶的一对翅膀，同时与蝴蝶效应的内涵极为相称，表现出微小扰动可能带来巨大的差异性后果。
其方程为
d x d t = σ ( y − x ) d y d t = x ( ρ − z ) − y d z d t = x y − β z \begin{aligned} \frac{\text dx}{\text dt}&=\sigma(y-x)\\ \frac{\text dy}{\text dt}&=x(\rho-z)-y\\ \frac{\text dz}{\text dt}&=xy-\beta z \end{aligned} dtdxdtdydtdz=σ(y−x)=x(ρ−z)−y=xy−βz
julia绘图
将其改写为Julia函数
function lorenz!(du,u,p,t)
σ,ρ,β = p
du[1] = σ*(u[2]-u[1])
du[2] = u[1]*(ρ-u[3]) - u[2]
du[3] = u[1]*u[2] - β*u[3]
end
将初值 u 0 u_0 u0和参数 p p p设为
u0 = [1.0,0.0,0.0]
p = (10,28,8/3)
走你
using DifferentialEquations #导入微分方程包
tspan = (0.0,100.0)
prob = ODEProblem(lorenz!,u0,tspan,p)
sol = solve(prob)
绘图
using Plots; gr()
plot(sol,vars=(1,2,3))
savefig("ode_4.png")
关闭抗锯齿
当然这个图其实是开了“抗锯齿”的，由于sol的结果本身就是一组分立的量，所以关闭denseplot之后，可以看到
plot(sol,vars=(1,2,3),denseplot=false)
savefig("ode_5.png")
ParameterizedFunctions.jl中提供了一个非常便捷的宏ode_def，可以更加直观地把Lorentz方程写为参数形式
L = @ode_def Lorentz begin
dx = σ*(y-x)
dy = x*(ρ -z)- y
dz = x*y -β*z
end σ ρ β
prob = ODEProblem(L,u0,tspan,p)
sol = solve(prob)
plot(sol,vars=(1,2,3))