TSP问题的解决方法

著名的货郎担架问题大家都明白，现在要求解它。有两种办法
方法一，暴力枚举法，举出所有的路径，这方法最简单，但是，需要N!的复杂度，当n比较大时，完全没有可计算性，当然，生成n!种排列比较简单，不需要什么高端的技巧。在此不解释这种解法

方法二，动态规划，设T(Vi,V)表示从V1经过V中所有结点到Vi的最短路径值，于是我们有以下的转移方程

        T(Vi,V)=min{D(k,i)+T(Vk,V\{Vk}}其中Vk是V中元素，其中D(k,i)表示第k个结点到第i个的距离(允许取无穷大)。我们要求解的问题是T(V1,V\{V1}).----即我们从V1出了，遍历V中除V1之外的结点，然后回到V1.根据这个原则，我们用二进制位表示每一个元素的取与不取。则知道代码如下：

 

//author:sy1206321
#include <iostream>
using std::endl;
using std::cin;
using std::cout;

unsigned    int     iNodeCount;//结点的个数
unsigned    int**   lpDpArray;//动态规划时的数组
unsigned    int**   lpGraph;//存储图的数据
bool        **      bHasCaculate;//存储一条路径是否访问过
unsigned    int**   lpPath;//存储最短的路径

bool    FreeResource();//free memory
bool    InitData();//init graph data
void    Search();//搜索最短的路径
unsigned    int GetMinPath(unsigned int iNode, unsigned int iNodeSet);
void    ShowPath();//显示其中一个路径

int main(){
    InitData();
    Search();
    cout<<lpDpArray[1][(1<<iNodeCount)-2]<<endl;
    ShowPath();
    FreeResource();
    system("PAUSE");
}

bool    FreeResource(){//free memory
    for(int iIndex= 0; iIndex<= iNodeCount; ++iIndex){
        delete[]    lpDpArray[iIndex];
        delete[]    bHasCaculate[iIndex];
        delete[]    lpGraph[iIndex];
        delete[]    lpPath[iIndex];
    }
    delete[]    lpDpArray;
    delete[]    bHasCaculate;
    delete[]    lpGraph;
    delete[]    lpPath;
    return  true;
}

bool    InitData(){//allocate memory and init data
    cout<<"请输入结点个数:"<<endl;
    cin>>iNodeCount;
    lpDpArray       =   new unsigned int*[iNodeCount+ 1];
    lpDpArray[0]    =   NULL;
    bHasCaculate    =   new bool*[iNodeCount+ 1];
    bHasCaculate[0]=    NULL;
    lpGraph         =   new unsigned int*[iNodeCount+ 1];
    lpGraph[0]      =   NULL;
    lpPath          =   new unsigned int*[iNodeCount+ 1];
    lpPath[0]       =   NULL;
    for(int iIndex= 1; iIndex<= iNodeCount; ++iIndex){
        lpDpArray[iIndex]       =   new unsigned int[1<<iNodeCount];
        bHasCaculate[iIndex]    =   new bool[1<<iNodeCount];
        lpGraph[iIndex]     =   new unsigned int[iNodeCount+1];
        lpPath[iIndex]          =   new unsigned int[1<<iNodeCount];
    }
    cout<<"请输入图的数据，如果不存在就输入0"<<endl;
    //读入图的数据，不存在则用无穷表示(static_cast<int>(-1))
    for(unsigned int iRow= 1; iRow<= iNodeCount; ++iRow){
        for(unsigned int iCol= 1; iCol<= iNodeCount; ++iCol){
            cin>>lpGraph[iRow][iCol];
            if(!lpGraph[iRow][iCol]){
                lpGraph[iRow][iCol] =   static_cast<unsigned int>(-1);
            }
        }
    }
    //把bHasCaculate, lpDpArray, lpPath数组全部清零
    for(unsigned int iRow=1; iRow<= iNodeCount; ++iRow){
        for(unsigned int iCol= 1; iCol< (1<<iNodeCount); ++iCol){
            bHasCaculate[iRow][iCol]    =   false;
            lpDpArray[iRow][iCol]       =   static_cast<unsigned int>(-1);
            lpPath  [iRow][iCol]        =   0;
        }
    }

    return  true;
}

//=========================================================================
//lpDpArray[iNode][iNodeSet]表示从Node(1)到Node(iNode)经过iNodeSet集合中的点的
//最小值
//=========================================================================
void    Search(){
    //显然当iNodeSet为0是，表示空集
    for(int iNode= 1; iNode<= iNodeCount; ++iNode){
        lpDpArray[iNode][0]     =   lpGraph[1][iNode];
        lpPath    [iNode][0]    =   1;
        bHasCaculate[iNode][0]  =   true;
    }
    lpDpArray[1][(1<<iNodeCount)-2]   =   GetMinPath(1, (1<<iNodeCount)-2);
}

unsigned    int GetMinPath(unsigned int iNode, unsigned int iNodeSet){
    if(bHasCaculate[iNode][iNodeSet]){
        return  lpDpArray[iNode][iNodeSet];
    }
    unsigned int iMinValue  =   static_cast<int>(-1);
    for(int iPreNode= 1; iPreNode<= iNodeCount; ++iPreNode){
        if(((1<<(iPreNode-1)) & iNodeSet) && (lpGraph[iPreNode][iNode]!= -1)){//iPreNode is a elem of iNodeSet
            unsigned int iPreValue  =   GetMinPath(iPreNode, iNodeSet&(~(1<<(iPreNode-1))));
            if((iPreValue!= -1) && iPreValue+ lpGraph[iPreNode][iNode]< iMinValue){//update value
                lpPath[iNode][iNodeSet]     =   iPreNode;
                iMinValue   =   iPreValue+ lpGraph[iPreNode][iNode];
            }
        }
    }
    lpDpArray[iNode][iNodeSet]  =   iMinValue;
    bHasCaculate[iNode][iNodeSet]       =   true;
    return  lpDpArray[iNode][iNodeSet];
}

void    ShowPath(){
    int *   path=   new int[iNodeCount+ 1];
    int ivalue= (1<<iNodeCount)-1;
    int iPreNode    =   1;
    int iNodeIndex  =   0;
    while(ivalue){
        ivalue-=    (1<<(iPreNode-1));
        path[iNodeCount-iNodeIndex] =   iPreNode;
        ++iNodeIndex;
        iPreNode    =   lpPath[iPreNode][ivalue];
    }
    path[0]=    1;
    for(iNodeIndex= 0; iNodeIndex<= iNodeCount; ++iNodeIndex){
        cout<<path[iNodeIndex]<<(iNodeIndex== iNodeCount ? "\n":"->");
    }
    delete[]    path;
}

        在其中我们并没有完全采用动态规划，而是采用它的一个变种---备忘录，我们把已经求得的还会重新利用的小的结果记录起来，下次再求解这个小问题的时候直接查表就可以了，而不是像动态规划那样，在求解一个大问题的时候要求所有的小问题都已经被解决。

 

易求算法时间复杂度是O(n*2^n)空间也是，显然在时间上比n!要快许多，而对于n!我们由斯特林公式知n!=(n/e)^n*(2*pi*n)^0.5，显然比2^n*n要大许多的

 

其中我给的一组输入值是:

6(6个顶点）

0  10 20 30 40 50 
12 0  18 30 25 21
23 19 0  5  10 15
34 32 4  0  8  16
45 27 11 10 0  18
56 22 16 20 12 0

以上的是边的权值（有向图